已知a.b.c>0,a+b+c=3.求证a^2+b^2+c^2+(3⼀2)(abc)》9⼀2

2024-12-19 06:07:15
推荐回答(4个)
回答1:

是要证明:a^2+b^2+c^2+(3/2)(abc)≧9/2吧
我们先转化为求它的最小值,并且把前后两段分开来求
a、b、c均不为0
∴a、b、c均是正数
∴a^2+b^2≧2ab,b^2+c^2≧2bc,a^2+c^2≧2ac
∴(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(a^2+c^2)≧2ab+2bc+2ac
∴2(a^2+b^2+c^2)≧2(ab+bc+ac)
∴a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ac
显然,当a=b=c=1时,等号成立,此时a^2+b^2+c^2取得最小值为3

另外,a^2+b^2+c^2≧3(abc)^(1/3)
∴3(abc)^(1/3)≦3
∴abc≦1
显然,当a=b=c=1时,取等号
此时abc取得最大值,得:3/(2abc)能取得最小值为3/2

∴当a=b=c=1时(两段在相同条件的情况)
(a^2+b^2+c^2)与[3/(2abc)]都能取得最小值
∴a^2+b^2+c^2+3/(2abc)的最小值=3+3/2=9/2
它的最小值是9/2
所以:a^2+b^2+c^2+(3/2)(abc)≧9/2

一般这种求代数式的值大于多少的都想办法用均值定理

回答2:

∵a、b、c均不为0
∴a、b、c均是正数
∴a^2+b^2≧2ab,b^2+c^2≧2bc,a^2+c^2≧2ac
∴(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(a^2+c^2)≧2ab+2bc+2ac
∴2(a^2+b^2+c^2)≧2(ab+bc+ac)
∴a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ac

当a=b=c=1时,等号成立,此时a^2+b^2+c^2取得最小值为3

∵a^2+b^2+c^2≧3(abc)^(1/3)

∴3(abc)^(1/3)≦3
∴abc≦1

当a=b=c=1时,取等号,
此时abc取得最大值,得:3/(2abc)能取得最小值为3/2

∴当a=b=c=1时(两段在相同条件的情况)
(a^2+b^2+c^2)与[3/(2abc)]都能取得最小值
∴a^2+b^2+c^2+3/(2abc)的最小值=3+3/2=9/2
它的最小值是9/2
∴a^2+b^2+c^2+(3/2)(abc)≧9/2

回答3:

a、b、c均不为0
∴a、b、c均是正数
∴a^2+b^2≧2ab,b^2+c^2≧2bc,a^2+c^2≧2ac
∴(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(a^2+c^2)≧2ab+2bc+2ac
∴2(a^2+b^2+c^2)≧2(ab+bc+ac)
∴a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ac
显然,当a=b=c=1时,等号成立,此时a^2+b^2+c^2取得最小值为3

另外,a^2+b^2+c^2≧3(abc)^(1/3)
∴3(abc)^(1/3)≦3
∴abc≦1
显然,当a=b=c=1时,取等号
此时abc取得最大值,得:3/(2abc)能取得最小值为3/2

∴当a=b=c=1时(两段在相同条件的情况)
(a^2+b^2+c^2)与[3/(2abc)]都能取得最小值
∴a^2+b^2+c^2+3/(2abc)的最小值=3+3/2=9/2
它的最小值是9/2
所以:a^2+b^2+c^2+(3/2)(abc)≧9/2

回答4:

啊!