反函数就是从函数y=f(x)中解出x,用y表示 :x=φ(y),如果对于y的每一个值,x都有唯一的值和它对应,那么x=φ(y)就是y=f(x)的反函数,习惯上,用x表示自变量,所以x=φ(y)通常写成y=φ(y) (即对换x,y的位置)。
求一个函数的反函数:
1、从原函数式子中解出 x 用 y 表示;
2、对换 x,y ;
3、标明反函数的定义域
注:反函数里的x是原函数里的y,原函数中,y≥0,所以反函数里的x≥0。在原函数和反函数中,由于交换了x、y的位置,所以原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域。
扩展资料:
反函数存在定理:
定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1
证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性,对D中任一x'
任取f(D)中的两点y1和y2,设y1 若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1 因此x1 如果f在D上严格单减,证明类似。