七下苏教版数学乘法公式

乘法公式
1.
乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接
应用.公式中的每一个字母,一般可以表示数字,单项式,多项式,有的还可以推广到分式,
根式.
公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右向左逆用(因式分解).
要记住一些重要的公式变形及其逆运算--除法等.
2.
基本公式就是最常用,最基础的公式,可以由此而推导出其它公式.
完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,
平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,
立方和(差)公式:(a±b)(a2mab+b2)=a3±b3.
3.
公式的推广:
①多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd.
即:多项式的平方等于各项的平方和,加上每两项积的2倍.
②二项式定理:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3,
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4,
(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2
±10a2b3+5ab4±b5,
…………
注意观察右边展开式的项数,指数,系数,符号的规律.
③由平方差,立方和(差)公式引申的公式
(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4,
(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5,
(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6,
…………
注意观察左边第二个因式的项数,指数,系数,符号的规律.
在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数
⑴(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n-3b2-…+ab2n-2-b2n-1)=a2n-b2n,
⑵(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1,
类似地:
⑶(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)=an-bn.
4.
公式的变形及其逆运算
由(a+b)2=a2+2ab+b2
得
a2+b2=(a+b)2-2ab;(a-b)2=(a+b)2-4ab.
由
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).
由公式的推广可知:当n为正整数时,an-bn能被a-b整除;
a2n+1+b2n+1能被a+b整除;
a2n-b2n能被a+b及a-b整除.
乙
例题
例1.己知:x+y=a,
xy=b
.
63
求:①x2+y2
;
②x3+y3
;
③x4+y4;
④x5+y5.
解:①x2+y2=(x+y)2-2xy=a2-2b;
②x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=a3-3ab;
③x4+y4=(x+y)4-4xy(x2+y2)-6x2y2=a4-4a2b+2b2;
④x5+y5=(x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4)
=(x+y)[x4+y4-xy(x2+y2)+x2y2]
=a[a4-4a2b+2b2-b(a2-2b)+b2]
=a5-5a3b+5ab2.
例2.求证:四个连续整数的积加上1的和,一定是整数的平方.
证明:设这四个数分别为a,
a+1,
a+2,
a+3.
(a为整数)
a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1
=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1
=(a2+3a+1)2.
∵a是整数,整数的和,差,积,幂也是整数.
∴a2+3a+1是整数.
例3.求证:2222+3111能被7整除.
证明:2222+3111=(
22)111+3111=4111+3111.
∵a2n+1+b2n+1能被a+b整除,(见内容提要4)
∴4111+3111能被
4+3整除.
∴2222+3111能被7整除.
例4.用完全平方公式推导"个位数字为5的两位数的平方数"的计算规律.
解:∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25.
∴"个位数字为5的两位数的平方数"的特点是:
幂的末两位数字是底数的个位数字5的平方,幂的百位以上的数字是底数的十位上数
字a乘以(a+1)的积.
例如:152=225,
幂的百位上的数字2=1×2;
252=625,
6=2×3;
352=1225,
12=3×4;
……
1052=11025,
110=10×11.
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