请证明欧拉公式？

方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的） （（（（就是就是就是就是q239urjuq239urjuq239urjuq239urju空间里的那个空间里的那个空间里的那个空间里的那个）））） 再抄一遍： 设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。 方法一是不严格的。 再再再再 请看这请看这请看这请看这2222个积分个积分个积分个积分 ∫sqrt(x^2∫sqrt(x^2∫sqrt(x^2∫sqrt(x^2----1)dx=x*sqrt(x^21)dx=x*sqrt(x^21)dx=x*sqrt(x^21)dx=x*sqrt(x^2----1)/21)/21)/21)/2----ln(2*sqrt(x^2ln(2*sqrt(x^2ln(2*sqrt(x^2ln(2*sqrt(x^2----1)+2x)/2 1)+2x)/2 1)+2x)/2 1)+2x)/2 ∫sqrt(1∫sqrt(1∫sqrt(1∫sqrt(1----x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1----x^2)/2; x^2)/2; x^2)/2; x^2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以上式左边相当于下式左边乘以上式左边相当于下式左边乘以上式左边相当于下式左边乘以i i i i 于是上式右边相当于下式右边乘以于是上式右边相当于下式右边乘以于是上式右边相当于下式右边乘以于是上式右边相当于下式右边乘以i i i i 然后化简就得到欧拉公式然后化简就得到欧拉公式然后化简就得到欧拉公式然后化简就得到欧拉公式 这个证明方法不太严密这个证明方法不太严密这个证明方法不太严密这个证明方法不太严密 但很有但很有但很有但很有启发

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