230问答网 > f(x)在开区间(a,b)上连续，且lim x→a+ = -∞ ,lim x→b- = -∞,证明：f(x)在开区间(a,b)内有最大值。

f(x)在开区间(a,b)上连续，且lim x→a+ = -∞ ,lim x→b- = -∞,证明：f(x)在开区间(a,b)内有最大值。

2024-11-27 07:45:27

推荐回答（1个）

回答1：

用反证法
假设f(x)在开区间(a,b)内没有最大值
即存在一点x0，a则f(x)在x0的一个邻域内是不连续的连续。
这与f(x)在开区间(a,b)上连续矛盾
所以原命题得证。

我只是讲一下思路
假设f(x)在开区间(a,b)内没有最大值，
则对于任意的实数A>0，必存在一个x1属于(a,b)，使得f(x1)>A
因为f(x)在开区间(a,b)上连续，lim x→a+f(x) = -∞ ,lim x→b-f(x) = -∞
所以在（a,x1]中存在数a1、a2、……、an，使得f(a1)=f(a2)=……=f(an)=A,在[x1,b)中存在数b1、b2、……、bm，使得f(b1)=f(b2)=……=f(bm)=A,
设a0=min{a1、a2、……、an},b0=max{b1、b2、……、bm}
则在[a0,b0]这个闭区间上f(x)连续且没有最大值，就是无界。这和在闭区间上的连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。矛盾