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设曲面z=(x,y)的上侧为正侧，那正法线的方向余弦为什么？用偏导数表示（学习曲面积分遇到的问题）

2024-12-25 15:13:15

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回答1：

记F(x,y,z)=z-z(x,y)
法线方向向量是：(Fx，Fy，Fz)=(-∂z/∂x，-∂z/∂y，1)
然后化为单位向量
(-∂z/∂x，-∂z/∂y，1) /√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)

三个方向余弦分别为：
cosα=-(∂z/∂x)/√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)

cosβ=-(∂z/∂y)/√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)

cosγ=1/√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)