用函数极限的定义证明函数f(x)当x→x0时极限存在的充要条件s左极限和右极限各自存在且相等

充分性：（已知左右极限存在且相等,证明极限存在）设lim[x→x0+] f(x)＝A，lim[x→x0-] f(x)＝A。由，lim[x→x0+] f(x)＝A。

证明充分性时，是由左右极限的定义出发，证明出符合极限的定义。而函数的极限定义是对任一ε而言的，ε虽然可任意取得，但一经指定，它就是固定的。证明的过程运用左右极限的定义时，若不选取同一ε，而选不同的ε1、ε2，就不符合极限定义。

扩展资料：

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。

参考资料来源：百度百科-函数极限

充分性：（已知左右极限存在且相等,证明极限存在）
设lim[x→x0+] f(x)＝A,lim[x→x0-] f(x)＝A
由,lim[x→x0+] f(x)＝A
则,对于任意ε>0,存在δ1>0,当0