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用中国剩余定理如何解一次同余式组 x≡3(mod5) x≡1(mod7) x≡4(mod9)

2024-11-30 11:27:28

推荐回答（3个）

回答1：

题：用中国剩余定理如何解一次同余式组 x≡3(mod5) x≡1(mod7) x≡4(mod9)
题目转化：x==(3;1;4) mod (5;7;9)
为打字方便，我常用双等号==代替三线等号≡表示同余。
敬告：请略花时间稍加琢磨，体谅我一片热心：
下面的解题过程，综合了我自2005年开始使用模积计数（表示）法与洪伯阳表示来解同余式组及后来作的一些进一步的阐述，
相信对同余式的解法是很好的简化，形式很为简洁。掌握了我的套路，很是省力。
解法形式上比较简明，只怕与传统方式变化太多，因此多加注解。其实，正是由于简明，所以稍加用心，十分容易理解。
如果不妥之处，疑问之处，敬请指教、交流，谢谢。
引子：
并量：为了叙述方便、形式的简明和思考之便捷，我引用一个新概念，称之为并量。
说起来很简单，也很容易转化。原同余式组各个式子是并列的，顺序无谓先后，可以交换；那么我们将其中同等地位的量并列在一起，用分号隔开；在不产生歧义对相同的量进行合并，称为“并量”。并量概念由此延伸，可以不限于同余运算。矩阵可以看作是一种井字型（十字型，交午型）的并量，用并量来解释矩阵的运算，有些时候更加方便。
并量的性质：一、在同一个式子中，对所有的并量进行同样的顺序变换，不影响命题的条件与结果。二、在运算时，各个同等地位的分量可以形成一组进行独立计算。
缘起一：我以前曾多次使用类似方式，并且说明这种量具有类似向量的性质，比如可以线性叠加。
优点发微：前面写了这么多，其实很简单，首先是为了方便，为了叙述方便，形式方便，
由于思考是眼手脑多者并用，形式简明使眼、手、脑减轻了包袱，加强了协作，
结果竟然使得理解问题更加直接，快捷，即思考之便捷，理解之方便。
附注1：并量与普通向量也有显然的不同之处：
用分号对各个分量作间隔就是为了强调“并量”与“向量”概念不同。例如中间的运算符 mod，是由前一并量的分量作用于后一并量的对应分量。这个和向量的点积或矩阵的积有些类似。
我个人认为使用“并量”这种提议简明与直接，省去了用矩阵理论（相当于向量组理论）、算子理论来解释，不方便，有一点麻烦。
附注2：缘起详说，即说此概念的由来：
曾经使用普通向量的形式，后来改用分号间隔其各个分量，强调其与普通向量的不同。
此次专门定名为并量。
于是一组同余式，或者说一个同余方程（式）组，在形式上写成并量的同余式，或称并量的模余关系式。（外一则：还有并量的模积关系式。）

题目转化：x==(3;1;4) mod (5;7;9)
解一：中国剩余定理＋原理略简化＋并量表示
x== [mod (5;7;9)] 　　[$以下用中括号括起或用$开头表示注解或公共说明]
(3;0;0)+
(0;1;0)+
(0;0;4)
== [以下==表示同余,在计算过程中允许表达式，表达式的返回值由箭头指定]
(63a<==3 mod 5) +
(45b<==1 mod 7)+
(35c<==4 mod 9)
== [心算a==1mod5, b==-2==5mod7,c==-4==5mod9,取其任意特值参予计算]
63-45*2-35*4
==-27-140 mod 315
==288-140
==148

解二：中国剩余定理＋原理略简化＋并量表示＋洪伯阳同余表示＋分数化速算法
x== [mod (5;7;9)] 　　[$以下用中括号括起或用$开头表示注解或公共说明]
(3;0;0)+
(0;1;0)+
(0;0;4)
==
63 * (3/63 mod 5) +
45 * (1/45 mod 7)+
35* (4/35 mod 9)
== [以下//后面的项为分母，直到第一个结束符（如括号）为止]
5*7*9 *
(
(3/63 mod 5 // 5)+
(1/45 mod 7 //7)+
(4/35 mod 9 //9)
)
== [以下用|...|表示在分数计算时，不进行约分，并取分子值作为计算结果]
|
(3/63 mod 5 // 5)+
(1/45 mod 7 //7)+
(4/35 mod 9 //9)
|
==
|
1//5)+-2//7)+-4//9) mod 1==-3/35-4/9==32/35-4/9
|
==288-140==148

解二之过程提炼：
x== [mod (5;7;9)] 　　[$以下用中括号括起或用$开头表示注解或公共说明]
(3;0;0)+
(0;1;0)+
(0;0;4)
==
|
(3/63 mod 5 // 5)+
(1/45 mod 7 //7)+
(4/35 mod 9 //9)
|
==
|
1//5)+-2//7)+-4//9) mod 1==-3/35-4/9==32/35-4/9
|
==288-140==148

解二过程之进一步精炼－－模积计数法，模积表示法。定义
|
(3/63 mod 5 // 5)+
(1/45 mod 7 // 7)+
(4/35 mod 9 // 9)
|
==　[用||表示模积表示。为简便，改用@或其它符号表示 mod,在不致混淆时可用很简单的符号，如<都行。当然在草稿纸上写，还可以省去很多规范符号，直接指向心髓。
另外注意： mod 的本质是 0类剩余类。即　a mod m= a + 0 mod m= a + [0] = a+ m**，　[0]表示m的余数为0的剩余类，简称0类剩余类，**表示任意可变的整数值。]
||
3/63 @ 5;
1/45 @ 7;
4/35 @ 9
||
于是解二过程进一步变成：
x== [mod (5;7;9)] 　　[$以下用中括号括起或用$开头表示注解或公共说明]
(3;0;0)+
(0;1;0)+
(0;0;4)
==
||
3/63 @ 5;
1/45 @ 7;
4/35 @ 9
||
==
||
1 @ 5
-2 @ 7
-4 @ 9
||
==
||
-3 @ 35==32
-4 @ 9
||
==32*9-4*35==148

解三：中国剩余定理。过程是是这样的：
先求得
A==(1;0;0) mod (5;7;9)
B==(0;1;0) mod (5;7;9)
C==(0;0;1) mod (5;7;9)
于是
X==3*A+1*B+4*C 就是所求的解了。在线性代数里面，就是先找到单位向量，再进行线性叠加。道理是一样的。
A,B,C是很好求的,例如求A：
A==1 mod 5, 同时A==0 mod (7;9)，即A= 63a
如果习惯了并量这种形式，并直接理解它，就可以直接写成：
A=63a==1 mod 5, 解得a==2 mod 5，即是a=2+5k，取其任一个具体数值均不影响最终计算结果。
想想看，类似地，如何求B? (此处思考几分钟再看下面的最好)
同理写成：B=45b==1==3b mod 7, 解得b==-2 mod 7, 即b=-2+7j，可任取其特值。
同量，C==35c==1 mod 9, c==-1 mod 9, 即c=-1 + 9*t, 可任取其特值。
现在该来求X了。
X
==3*A+1*B+4*C mod (5;7;9)
==3*7*9a+1*5*9b+4*5*7c
==5*7*9*F
==5*7*9* (F mod 1)
F=(3a/5+1b/7+4c/9)
下面来计算()内的分数F。
F=6/5-2/7-4/9=32/35-4/9=(288-140)/(35*9)=148/(5*7*9)
故X==148 mod 315

回答2：

因为 5*7≡ -1 (mod 9) ，7*9≡3 (mod 5) ，5*9≡3 (mod 7) ，
所以 -4*5*7≡4 (mod 9) ，1*7*9≡3 (mod 5) ，-2*5*9≡-6≡1 (mod 7) ，
因此 x≡-4*5*7+1*7*9-2*5*9(mod 5*7*9) ，
也即 x≡ -167≡148 (mod 315) 。

回答3：

(5×7)×9=280=1(mod9)
(5×9)×5=225=1(mod7)
(7×9)×2=126=1(mod5)
所以3×280+1×225+4×126=1569

5×7×9=315
1569=309(mod315)
所以x=309+315n

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