已知抛物线C:y=(x+1)^2与圆M:(x-1)^2+(y-1⼀2)^2=r^2有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l

1、对抛物线C求导，得 y'1=2x+2

对圆M求导，得 2x-2+(2y-1)y'2=0，即y'2=-(2x-2)/(2y-1)

在公共点A处，两切线重合，则有y'1=y'2，即2x+2=-(2x-2)/(2y-1)

解得y=1/(x+1)，代入y=(x+1)^2，可解得x=0，y=1，即点A(0,1)

r为半径，即点A(0,1)到圆心M(1,1/2)的距离AM，

∴r=|AM|=√(1-0)^2+(1/2-1)^2=√5/2

2、奇怪，明明凭眼睛看都能看出三条公切线来，为何用解析法做出来就始终只有一条呢？

就是上面过A点的那一条，其他两条始终解不出来，求高手。

1）设A（n，（n＋1）＾2），则l的斜率k1＝2n＋2，
AM的斜率k2＝［1／2－（n＋1）＾2］／（1－n），
由l为圆的切线，所以k1＊k2＝－1，化简整理得：n（n＾2＋3n＋3）＝0
解得：n＝0，所以A(0,1),把A带入(x-1)^2+(y-1/2)^2=r^2得：r=√5/2
2）设C的一个切点Q（a，（a＋1）＾2）
从而此直线斜率k＝2a＋2，
把Q点带入解得：此直线的方程为：2(a＋1)x＋1－a＾2－y＝0
而此直线再与圆M相切，则圆心到直线的距离d=√5/2
由点到直线的距离公式：绝对值（2a＋5／2－a＾2）／√［1＋（2a＋2）＾2］=√5/2
两边平方再化简得：a＾2（a＾2－4a－5）＝0
从而解得a＝0，或a＝2－√10，或a＝2＋√10，其中a＝0时直线为l
把a＝2－√10，a＝2＋√10，分别带入直线方程：2(a＋1)x＋1－a＾2－y＝0
得：y＝2（2－√10）x－13＋4√10，
y＝2（2＋√10）x－13－4√10
联立上面两个方程解得；x＝2，y＝－1
即D(2,－1)，由a＝0得l：2x＋1－y＝0
所以D到l的距离d＝绝对值［2＊2＋1－（－1）］／√（2＾2＋1）＝6√5/5

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