1、已经签了就难说，要看具体怎么签的。没有签之前是一定可以的，可以要求入职一个月后的工资发二倍，即可以要求再发12个月的工资。但这样一来，也不可能再在公司呆下去了吧。
2、现在难于得到支持，因为双方已经同意补签了。
不好证明补签问题
要看你补签的日期，即合同上是否有签字日期“2012年4月”，如果有可以仲裁主张（2011年7月到2012年3月的二倍工资，时效一年），否则就没有根据了。
社保应该补缴自工作之日起。
公司不给你合同是不对的，你可以向公司提出交涉，再不给可以投诉或仲裁要求给你。甚至要求2011年7月到2012年6月的二倍工资
既然单位已经纠正了错误，如果想长期干就算了，不想干的话--
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