230问答网 > 利用球面坐标计算∫∫∫xyzdv,其中Ω是球面x^2+y^2+z^2=1与z^2=x^2+y^2围成的第一卦限

利用球面坐标计算∫∫∫xyzdv,其中Ω是球面x^2+y^2+z^2=1与z^2=x^2+y^2围成的第一卦限

2025-01-24 14:36:03

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回答1：

球坐标
∫∫∫xyzdv
=∫∫∫ rsinφcosθ*rsinφsinθ*rcosφ*r²sinφdrdφdθ
=∫[0→π/2]cosθsinθdθ∫[0→π/4]sin³φcosφdφ∫[0→1] r^5dr
=(1/2)(1/16)(1/6)
=1/192

其中：
∫[0→π/2]cosθsinθdθ
=∫[0→π/2]sinθd(sinθ)
=(1/2)sin²θ |[0→π/2]
=1/2
∫[0→π/4]sin³φcosφdφ
=∫[0→π/4]sin³φd(sinφ)
=(1/4)(sinφ)^4 |[0→π/4]
=1/16
∫[0→1] r^5dr
=(1/6)r^6 |[0→1]
=1/6

回答2：

区域是球和锥面围成，用球坐标。