求函数定义域值域

很久没看书了，依稀记得以前做这类题目都是看书里面的例题，找到差不多的题目，试着解出来，掌握方法的同时也要知道原理，只有以后遇到类似的就会了。
其实数学你只要把大多数公式弄懂了就很简单。

真数大于零 根号下 数值要大于等于零

（1)。求函数y=lgsin(cosx)的定义域；
解：如果-1≦cosx≦0，比如cosx=-m(0≦m≦1)，那么sin(cosx)=sin(-m)=-sinm<0，则
lgsin(cosx)无定义；∴ 必须0(2)。求f(x)=(√cosx)+lg(8x+x²)的定义域；
解：由cosx≧0，得2kπ-π/2≦x≦2kπ+π/2.............(A)
由x²+8x=(x+4)²-16>0得 (x+4)²>16，故得x+4<-4或x+4>4，即x<-8或x>0..........(B)
由2kπ+π/2<-8，得k<-(1/4)-4/π=-(π+16)/(4π)≈-1.52，k∈Z，故取k≦-2；
由2kπ-π/2>0，得k>1/4=0.25，因为k∈Z，∴取k≧1；
即定义域为：2kπ-π/2≦x≦2kπ+π/2，其中k∈Z且 k≦-2或k≧1;
(3)。①。求y=2sinxcos²x/(1+sinx)的值域；
解：∵cos²x=y(1+sinx)/(2sinx)；∴0≦y(1+sinx)/(2sinx)≦1，且sinx>0；
故有0≦y(1+sinx)≦2sinx；∴0≦y≦2sinx/(1+sinx)=[2(1+sinx)-2]/(1+sinx)=2-2/(1+sinx);
当sinx=1时y获得最大值ymax=2-1=1；当sinx=0时y获得最小值ymin=2-2=0;
即值域y∈[0，1]；
②。求 y=3cos²x-4cosx+1的值域；x∈[π/3，2π/3];
解：y=3(cosx-2/3)²-1/3；当x=π/3时y获得最小值ymin=3(1/2-2/3)²-1/3=1/12-1/3=-1/3
当x=2π/3时y获得最大值ymax=3(-1/2-2/3)²-1/3=25/3-1/3=8；

3.1
y=2sinφcos²φ/(1+sinφ)=2sinφ(1-sin²φ)/(1+sinφ)=2sinφ(1-sinφ)
=2(sinφ-sin²φ)= - 2(sinφ - 1/2)²+1/2 ≤1/2
当sinφ=-1时取得最小值，最小值为-4（由于原式分母不为0所以取不到）
故值域为(-4,1/2]
3.2
φ∈[π/3,2π/3]，cosφ∈[-1/2,1/2]，令t=cosφ
y=3cos²φ-4cosφ+1=3t²-4t+1
二次函数最值取在对称轴
t=2/3，min(y)=3*(2/3)²-4*(2/3)+1= - 1/3
t=-1/2，max(y)=3*(-1/2)²-4*(-1/2)+1=15/4
故值域为[- 1/3,15/4]