轮换对称式因式分解

在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.
二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.
对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.
例7分解因式x4+(x+y)4+y4
分析
这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.
解
∵x4+y4
=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2
=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.
∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4
=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2
=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]
=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,
例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).
此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.
因式定理
如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).
如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).
证明
设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,
若f(a)=0,则
f(x)=f(x)-f(a)
=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)
=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)
=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),
由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),
∴(x-a)|f(x),
对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.
现在我们用因式定理来解例8.
解
这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.
∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
=-(a-b)(b-c)(c-a).
例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).
分析
这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以
原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).

这类问题可以试因式：令a=b，原式=0
于是原式必有因式(a-b)(b-c)(c-a),此为3次式
故还有一个因式为2次！
经计算
原式=(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c)
呵呵，前面有点失误，现改回来

令f（a）＝原式，则：
∵f（b）
＝b^2（b＋c－2b）＋b^2（c＋b－2b）＋c^2（b＋b－2c）＋2（c^2－b^2）（c－b）
＝b^2（c－b）＋b^2（c－b）＋2c^2（b－c）＋2c^2（c－b）－2b^2（c－b）
＝0。
∴原式中必含有因式（a－b）。

∵f（c）
＝c^2（b＋c－2c）＋b^2（c＋c－2b）＋c^2（c＋b－2c）＋2（b^2－c^2）（b－c）
＝c^2（b－c）＋2b^2（c－b）＋c^2（b－c）＋2b^2（b－c）－2c^2（b－c）
＝0。
∴原式中必含有因式（a－c）。

令f（b）＝原式，则：
f（c）
＝a^2（c＋c－2a）＋c^2（c＋a－2c）＋c^2（a＋c－2c）＋2（a^2－c^2）（a－c）
＝2a^2（c－a）＋c^2（a－c）＋c^2（a－c）＋2a^2（a－c）－2c^2（a－c）
＝0。
∴原式中必含有因式（b－c）。

∵原式是一个三次轮换对称式，而（a－b）（a－c）（b－c）也是三次轮换对称式，
∴原式＝k（a－b）（a－c）（b－c），其中k为待定系数。
令a＝1、b＝2、c＝3，得：
原式
＝（2＋3－2）＋4×（3＋1－4）＋9×（1＋2－6）
　＋2×（1－4）×（1－3）＋2×（4－9）×（2－3）＋2×（9－1）×（3－2）
＝3－27＋12＋10＋16
＝14。
∴（1－2）×（1－3）×（2－3）k＝14，　∴k＝－7。
∴原式＝－7（a－b）（a－c）（b－c）＝7（a－b）（b－c）（c－a）。

不知道