求二次积分∫（2，0）dx ∫（x，2）e＾（-y＾2）dy在线等，务必说明如何交换积分次序。

画图：区间由红色的箭头变为绿色的箭头，即由X型区间变为Y型区间。

∫(x = 0→2) dx ∫(y = x→2) e^(- y²) dy

x = 0 到 x = 2，y = x 到 y = 2

< = >

y = 0 到 y = 2，x = 0 到 x = y

∫(y = 0→2) e^(- y²) dy ∫(x = 0→y) dx

= ∫(y = 0→2) e^(- y²) [y - 0] dy

= ∫(y = 0→2) e^(- y²) y dy

= (- 1/2)∫(y = 0→2) e^(- y²) d(- y²)

= (- 1/2)[e^(- y²)] |(y = 0→2)

= (- 1/2)(e⁻⁴ - 1)

= (1 - e⁻⁴)/2

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解：由题意知，积分区域是由y=x,y=2和x=0构成的三角形区域
此三角形的三个顶点坐标分别是(0,0),(2,2),(0,2)
则 原式=∫<0,2>e^(-y²)dy∫<0,y>dx
=∫<0,2>e^(-y²)ydy
=(1/2)∫<0,2>e^(-y²)d(y²)
=(1/2)(1-e^(-4))
=(1-1/e^4)/2。