如何证明费马点

费马点对边的张角为120°。 　　△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60°=∠ABA1, 　　△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 　　同理可得∠CBP=∠CA1P 　　由∠PA1B+∠CA1P=60°，得∠PCB+∠CBP=60°,所以∠CPB=120度 　　同理,∠APB=120°，∠APC=120°　(2)PA+PB+PC=AA1 　　将△BPC以点B为旋转中心旋转60°与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60°　又∠BPA=120°，因此A、P、D三点在同一直线上， 　　又∠CPB=∠A1DB=120°，∠PDB=60°，∠PDA1=180°，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。 　　(3)PA+PB+PC最短 　　在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60°与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。 　　经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法： 　　当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点。 　　另一种更为简捷的证明 ： 　　设O为三顶点连线最短点，以A为圆心AO为半径做圆P。将圆P视作一面镜子。显然O点应该为B出发的光线经过镜子到C的反射点（如果不是，反射点为O',就会有BO’+ CO' < BO+ CO，而AO’= AO，就会有 AO’+ BO’+ CO' < AO + BO + CO）。 　　不失一般性。O点对于B、C为圆心的镜子也成立。因此根据对称性AO、BO、CO之间夹角都是120° 　　（补充说明：AO、BO、CO是每个镜子的法线）

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