不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程f✀(x)=0有几个实根，并指出它们所在的区间？

函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，显然是一个4次方函数。它的定义域是任意实数。该函数在整个实数期间是连续的、处处可导的。

很容易求得方程 f(x)=0 共有且仅有四个解，即函数的图像有4次与x轴相交，交点分别在X轴上的x=1，2，3，4处。函数是x的4次方函数，当x趋近正负无穷大时，函数值都是正无穷大。因此，在（- ∞，1）和（4，+ ∞）区间，函数的图像都是处于x轴的上方直至正无穷大。

函数的一阶导数就是函数图像上某点的切线直线的斜率。令函数一阶导数等于0的方程，就是要求函数图像上哪些点的切线的斜率平行于x轴方向的问题，平行于x轴方向的切线斜率为0。因为4次方函数的一阶导数是一个3次方函数，又因为原函数图像是连续的处处可导的，它的一阶导数的3次方函数也是连续的处处可导的。令原函数的一阶导数等于0 的方程是一个3次方方程，它有且仅有3个根。原函数在与x轴相交的4点之间的三段图像中，每一段必然存在着图像的一个极值点，在该极值点的图像切线的斜率为0、切线平行于x轴。从而可得：
方程 f'(x)=0的3个实根分别在区间（1，2），（2，3），（3，4）上。

令f(x)=0则x=1,2,3,4
∴f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0

又f(x)在区间［1，2］上连续，在区间〔1，2〕上可导，f(1)=f(2)=0

由罗尔定理可知：

方程f'(x)=0在区间（1，2）至少存在一个实根

同理可知：

方程f'(x)=0分别在区间（2，3）（3，4）都至少存在一个实根

又f'(x)=0为三次方程，其根至多三个

∴f'(x)=0有三个实根，其区间分别是（1，2），（2，3），（3，4）

如要粗略判断，可画出f(x)的草图，根据单调性可知，f'(x)=0有3个实根，所在区间为（1，2），（2，3）（3，4）。

导数的实根即导数等于0的x值
显然f(x)有4个实根，即1
2
3
4

由微分中值定理
在（1，2）中存在a使f'(a)=[f(1)-f(2)]/1=0
同理在(2,3),(3,4)中……
所以f(x)的导数有4-1=3个实根