已知正实数a,b满足a^2+b^2=1,a^3+b^3+1=m(a+b+1),求m的最小值

设a+b=x x>0
x^2=1+2ab ab=(x^2-1)/2
a>0 b>0 所以x^2-1>0 x<1
又x^2=(a+b)^2<=2(a^2+b^2)=2 所以x<=√2 所以1a^3+b^3+1=m(a+b+1)
(a+b)(a^2+b^2-ab)+1=m(a+b+1) m=[1+x(1-(x^2-1)/2)]/(x+1)=[2+x(3-x^2)]/2(x+1)
令f(x)=[x(3-x^2)+2]/(x+1)
f'(x)=(-2x^3-3x^2+1)/(x+1)^2
看g(x)=-2x^3-3x^2+1 g'(x)=-6x(x+1)<0
所以g(x)<=g(1)=-4<0 所以f'(x)<=0 f(x)递减
所以minf(x)=f(√2)=√2
所以m最小值是√2/2

m=（a^3+b^3+1）/(a+b+1)^3
设a+b=t 1m=（-t^3+3t+2）/2（t^3+3t^2+3t+1）=（t+1）^2（2-t）/2（t+1）^3=（2-t）/2（t+1）
=-1+3/（t+1）
显然减函数
t=1最大 1/4 取不到
t=根2最小 3根2/2-2