如何证明1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)⼀6 之前BAIDU的答案我还是没看明白,望高手详细解答!

只要解释第2步,也就是证明n=k时左右相等就行了。
2024-11-30 06:19:32
推荐回答(2个)
回答1:

说明:第二部是数学归纳法的关键,意思是:假设如果第K步成立,即n=k,我们会有归纳
假设的结果 1^2+2^2+3^2......k^2=k(k+1)(2k+1)/6 ,假设第K步成立的目的是想知道
K的下一步K+1等式是否成立?如果能通过推导得到结果k的下一步k+1步等式成立的
话,我们就说明了这样一个事实,“只要前一步等式成立的话,它的下一步等式必定
成立!那么对n来说,第一步是对的,任意假设一步对的话,它的下一步一定是对的。
这样我们可以从第一步推到第二步,再从第二步推到第三步,一直往下推到第n步就是
我们要证明的结果。
第二步不是要证明n=k时左右相等,而是“假设n=k时左右相等,证明当n=k+1时左右
相等!是利用n=k时左右相等的这个条件来证明n=k+1左右相等。
ii 假设当n=k时 等式成立 即有:
1^2+2^2+3^2+......+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
当n=k+1,
等式左边=1^2+2^2+3^2+......+k^2+(k+1)^2
等式左边=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6
在等式的左边代入归纳假设 得:
左边=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6
=(k+1)(2k^2+7k+6)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6=右边
即 左边=右边
故:如果n=k等式成立,n=k+1等式必定成立!
(不知能否理解我的解释)

回答2:

这个用数学归纳法证明的时候,第二步是一种假设,也就是说没有证明。但是由k成立推出k+1成立。也就完成了归纳递推。建议学习有关数学归纳法的基本原理。

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