已知a>b>c, a+b+c=1, a^2+b^2+c^2=3;求证b+c<1⼀2

按照所给定的条件，只能证明出：b＋c＜1。
方法一：
∵a＋b＋c＝1，∴（a＋b＋c）^2＝1，∴a^2＋b^2＋c^2＋2（ab＋bc＋ac）＝1，
∴3（a^2＋b^2＋c^2）＋6（ab＋bc＋ac）＝3，又a^2＋b^2＋c^2＝3，
∴2（a^2＋b^2＋c^2）＋6（ab＋bc＋ac）＝0，∴a、b、c不能都是负数，而a＞b＞c，
∴a＞0。

∵a＋b＋c＝1，∴b＋c＝1－a，∴（b＋c）^2＝（1－a）^2＝1－2a＋a^2。
∵a^2＋b^2＋c^2＝3，∴b^2＋c^2＝3－a^2。
由柯西不等式，有：
（b＋c）^2＝（1×b＋1×c）^2≦（1^2＋1^2）（b^2＋c^2）＝2（b^2＋c^2）。
而b＞c，∴（b＋c）^2＜2（b^2＋c^2），∴1－2a＋a^2＜2（3－a^2），
∴1－2a＋a^2＜6－2a^2，∴3a^2－2a－5＜0，∴（a＋1）（3a－5）＜0，
∴－1＜a＜5/3。
考虑到a＞0，∴0＜a＜5/3。

由a＋b＋c＝1，得：a＝1－（b＋c），∴0＜1－（b＋c）＜5/3，
∴－5/3＜（b＋c）－1＜0，∴－2/3＜b＋c＜1。
于是有：b＋c＜1。

方法二：
∵a＋b＋c＝1，∴（a＋b＋c）^2＝1，∴a^2＋b^2＋c^2＋2（ab＋bc＋ac）＝1，
∴3（a^2＋b^2＋c^2）＋6（ab＋bc＋ac）＝3，又a^2＋b^2＋c^2＝3，
∴2（a^2＋b^2＋c^2）＋6（ab＋bc＋ac）＝0，∴a、b、c不能都是负数，而a＞b＞c，
∴a＞0。

由a＋b＋c＝1，得：b＝1－a－c，又a^2＋b^2＋c^2＝3，∴a^2＋（1－a－c）^2＋c^2＝3，
∴a^2＋1＋a^2＋c^2－2a＋2ac－2c＋c^2－3＝0，
∴2c^2＋（2a－2）c＋2a^2－2a－2＝0，∴c^2＋（a－1）c＋a^2－a－1＝0。······①

由a＋b＋c＝1，得：c＝1－a－b，又a^2＋b^2＋c^2＝3，∴a^2＋b^2＋（1－a－b）^2＝3，
∴a^2＋b^2＋1＋a^2＋b^2－2a＋2ab－2b－3＝0，
∴2b^2＋（2a－2）b＋2a^2－2a－2＝0，∴b^2＋（a－1）b＋a^2－a－1＝0。······②

由①、②可知：b、c是方程x^2＋（a－1）x＋a^2－a－1＝0的两实数根，又b＞c，
∴（a－1）^2－4（a^2－a－1）＞0，∴a^2－2a＋1－4a^2＋4a＋4＞0，
∴－3a^2＋2a＋5＞0，∴3a^2－2a－5＜0，∴（a＋1）（3a－5）＜0，
∴－1＜a＜5/3。
考虑到a＞0，∴0＜a＜5/3。

由a＋b＋c＝1，得：a＝1－（b＋c），∴0＜1－（b＋c）＜5/3，
∴－5/3＜（b＋c）－1＜0，∴－2/3＜b＋c＜1。
于是有：b＋c＜1。

方法三：
∵a＋b＋c＝1，∴（a＋b＋c）^2＝1，∴a^2＋b^2＋c^2＋2（ab＋bc＋ac）＝1，
∴3（a^2＋b^2＋c^2）＋6（ab＋bc＋ac）＝3，又a^2＋b^2＋c^2＝3，
∴2（a^2＋b^2＋c^2）＋6（ab＋bc＋ac）＝0，∴a、b、c不能都是负数，而a＞b＞c，
∴a＞0。

∵a＋b＋c＝1，∴b＋c＝1－a。
∵a^2＋b^2＋c^2＝3，∴b^2＋c^2＝3－a^2。
引入函数y＝（x＋b）^2＋（x＋c）^2。
∵b＞c，∴y＞0。
又y＝2x^2＋2（b＋c）x＋（b^2＋c^2）＝2x^2＋2（1－a）x＋（3－a^2）。
这显然是一条开口向上的抛物线，而y＞0，
∴方程2x^2＋2（1－a）x＋（3－a^2）＝0的判别式＜0，∴4（1－a）^2－8（3－a^2）＜0，
∴（1－a）^2－2（3－a^2）＜0，∴1－2a＋a^2－6＋2a^2＜0，∴3a^2－2a－5＜0，
∴（a＋1）（3a－5）＜0，∴－1＜a＜5/3。
考虑到a＞0，∴0＜a＜5/3。

由a＋b＋c＝1，得：a＝1－（b＋c），∴0＜1－（b＋c）＜5/3，
∴－5/3＜（b＋c）－1＜0，∴－2/3＜b＋c＜1。
于是有：b＋c＜1。

注：请你认真核查原题，看是条件还是需要求证的结论写错了。