1、2011年2月24日在某单位工作期间试用期3个月
这个你要有证据来证明你是2011年2月24日入职的事实；没有签合同，就不应该有这种试用期；公司已经违法；从2011年3月24日（2011年3月24日至2012年4月10日）起就可以要求公司支付你11个月的双倍工资；还可以从即日起要求公司同你签订无固定期限劳动合同；
可以的。你可以要求单位与你签订书面劳动合同，如果单位不签，你可以辞职，并要求经济补偿，如果单位不给，你可以申请劳动仲裁。
用人单位自用工之日起一个月内，就应该与劳动者签订劳动合同，逾期未签订劳动合同，用人单位需支付双倍工资。超过一年未签订劳动合同，视为签订无固定期限劳动合同。
可以要求支付双倍工资。
劳动者法律援助中心
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