230问答网 > 试说明，将和1+1⼀2+1⼀3+1⼀4+...+1⼀40写成一个最简分数m⼀n时，m不会是5的倍数。

试说明，将和1+1⼀2+1⼀3+1⼀4+...+1⼀40写成一个最简分数m⼀n时，m不会是5的倍数。

2025-03-04 02:51:21

推荐回答（5个）

回答1：

原式=(40！+40!/2+......+40!/40)/40!
设40！=K5^m(K为不能整除5的整）
设a(n)=40！/n（n<=40)
显然当n不能整除5时有a(n)=ki*5^m(ki为不能整除5的整数）
1-40中能整除5的数为5.10.15.20.25.30.35.40
它们的最大公倍数为：3*7*8*25=4200
设M=40！/4200
显然M可表示为=Kj*5^(m-2)(kj为不能整除5的整数)
原式可改为（ki*5^m+Kj*5^(m-2)(4200/5+4200/10+...+4200/40)
=（ki*5^m+2283*Kj*5^(m-2)）/K5^m
=（ki*25+2283*Kj）/K*25（K系列均不能整除5）
故分子不可能时5的倍数

回答2：

先全部通分,得到((1*2*3...39)+(1*3*4...40)...)/(1*2*3*...40)
分母上包括9个5的乘积(5,10,15,20,25,30,35,40)
如果m是5的倍数的话,分子应该包括10个以上的5的乘积
现在看分子:
其实分子上的每一个数都是(1*2*3...40)除以一个1到40的数,这样相加便得到分子,这样显然有32个数是5^9的倍数(就是去掉的那个数不是5的倍数),7个数是5^8的倍数(去掉的是5的倍数但不是25),1个数是5^7的倍数(去掉的是25)
这样,分子就可以写成(5^7)*((5^2)*A+(5^1)*B+C),这里你稍微体会一下,A,B,C分别代表任意的某个数
但可以明确的是:((5^2)*A+(5^1)*B)这个数是5的倍数,而C代表的是刚才提到的:1个数是5^7的倍数(去掉的是25)
这个数再除以5^7所得的数,这个数不是5的倍数
所以((5^2)*A+(5^1)*B+C)这个数不是5的倍数,即分子仅包含5^7,而分母包含5^10,所以约分后的数分子不是5的倍数简单的说一下吧，设i=1+1/2+1/3+1/4+...+1/40
25i=25（1+1/2+1/3+1/4+...+1/40）=25×(1+1/2+......+1/4+1/6+......+1/39)+5*(1+1/2+...+1/4+1/6...+1/8)+1
设25×(1+1/2+......+1/4+1/6+......+1/39)+5*(1+1/2+...+1/4+1/6...+1/8)=p/q，p整除5，q不整除5.
25i=1+p/q
i=(p+q)/25q
p+q不整除5。。。。。
回答者：JuanRequelme - 魔法师四级 11-25 16:19
（1）
先证明n必为最小公倍数，而n显然包含5，从而m必不能被5整除。
// 事实上，对此题，也同样不能被2，2，2，2，2，3，3，3，5，5，7，
// 11，13，17，19，23，29，31，37整除（最大公倍数为这些的积）。
// 即40以内的素数，同时再加上不够的因子2^5<40,3^3<40,5^2<40

（2）下面用数学归纳法证明n必为最小公倍数

i)
k=1时，1=1，n=1;
k=2时，1+1/2=3/2，n=2；
ii)
假设k=x，x>=2为整数时，命题仍成立，即
n为1，2，...，x的最小公倍数
由于m/n为最简，则m必定没有n的因子素数。
iii)
当k=x+1时,
a)
若x+1为素数，则
m/n+1/(x+1)=[m(x+1)+n]/[n(x+1)]
反证法易证m(x+1)+n必定没有n的因子素数，也没有x+1因子。
此种情况正确。
b)
若x+1为合数，且能整除n,不妨表示为n=y(x+1),则
m/n+1/(x+1)=(m+y)/n
同样的，反证法易证m+y必定没有n的因子素数。
此种情况正确。
c)
若x+1为合数，不能整除n,则x+1必定只多了一个已存在的n的因子，设为u，
表示为 x+1=zu，其中z能整除n，表示为n=zv，而v必定不含因子u。
// 实际上即为u不够用了，因为出现了某个素数的次方
// 例如出现8，则要再加一个2；出现25，则要再加一个5。
则
m/n+1/(x+1)=(mu+v)/(nu)
同样的，反证法易证mu+v必定没有n的因子素数。
此种情况正确。

综上说明，k=x+1时，最简分母
n(x+1)，或n，或nu仍是1，2，...，x+1的最小公倍数。

证毕。
回答者：zzalex - 助理二级 11-25 21:13
将和写成最简分数首先要求分母的最小公倍数，在1——40中，有5这个质数，因此最小公倍数必是5的倍数，而最简分数的分子也是5的倍数的话，那么它将与这是一个最简分数矛盾，故。。。。。。
回答者：Mr_ZhangQ - 助理二级 11-26 11:12
原式=(40！+40!/2+......+40!/40)/40!
设40！=K5^m(K为不能整除5的整）
设a(n)=40！/n（n<=40)
显然当n不能整除5时有a(n)=ki*5^m(ki为不能整除5的整数）
1-40中能整除5的数为5.10.15.20.25.30.35.40
它们的最大公倍数为：3*7*8*25=4200
设M=40！/4200
显然M可表示为=Kj*5^(m-2)(kj为不能整除5的整数)
原式可改为（ki*5^m+Kj*5^(m-2)(4200/5+4200/10+...+4200/40)
=（ki*5^m+2283*Kj*5^(m-2)）/K5^m
=（ki*25+2283*Kj）/K*25（K系列均不能整除5）
故分子不可能时5的倍数
反证法：
假设m是5的倍数，则n一定不是5的倍数。
将和写成最简分数首先要求分母的最小公倍数，在1——40中，有5这个质数，因此最小公倍数必是5的倍数，而最简分数的分子也是5的倍数的话，那么它将与这是一个最简分数矛盾，aaaaaa

回答3：

简单的说一下吧，设i=1+1/2+1/3+1/4+...+1/40
25i=25（1+1/2+1/3+1/4+...+1/40）=25×(1+1/2+......+1/4+1/6+......+1/39)+5*(1+1/2+...+1/4+1/6...+1/8)+1
设25×(1+1/2+......+1/4+1/6+......+1/39)+5*(1+1/2+...+1/4+1/6...+1/8)=p/q，p整除5，q不整除5.
25i=1+p/q
i=(p+q)/25q
p+q不整除5。。。。。

回答4：

将和写成最简分数首先要求分母的最小公倍数，在1——40中，有5这个质数，因此最小公倍数必是5的倍数，而最简分数的分子也是5的倍数的话，那么它将与这是一个最简分数矛盾，故。。。。。。

回答5：

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