求问：∫(1+x^2)^1⼀2在-2到2上求定积分

2024-12-12 01:23:31

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回答1：

先求不定积分
∫ √(1+x²) dx
令x=tanu，则√(1+x²)=secu，dx=sec²udu
=∫ secu*sec²u du
=∫ sec³u du
下面计算
∫ sec³u du
=∫ secu d(tanu)
=secutanu-∫ tan²usecudu
=secutanu-∫ (sec²u-1)secudu
=secutanu-∫ sec³udu+∫ secudu
=secutanu-∫ sec³udu+ln|secu+tanu|
将-∫ sec³udu移动等式左边与左边合并后除去系数，得
∫ sec³u du=1/2secutanu+1/2ln|secu+tanu|+C
则原不定积分=1/2x√(1+x²)+1/2ln|√(1+x²)+x|+C
则定积分 ∫[-2-->2] (1+x^2)^1/2 dx
=2∫[0-->2] (1+x^2)^1/2 dx
=x√(1+x²)+ln|√(1+x²)+x| [0-->2]
=2√5+ln|√5+2|