数学问题：请问高斯超越阿基米德和牛顿的那道数学题目？

思路：

有一个定理在这里要用到的： 

若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的， 

其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。 

上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。 

（这一步，大家会画吧？） 

而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段。 

下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出，同时也就给出了具体的做法。 

设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0 

a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0 

则有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根，所以长为|a|和|a1|的线段可以做出。 

令b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0 

c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0 

则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1 

同样道理，长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。 

再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)＝b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c 

这样，2cos(2pai/17）是方程x^2-bx+c=0较大的实根, 

显然也可以做出来，并且作图的方法上面已经给出来了

解法1：

①

给一圆O，作两垂直的半径OA、OB， 　　

作C点使OC=1/4OB， 　　

作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度

②

作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点,此圆交OB于F点，

再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

③

过G4作OA垂直线交圆O于P4， 　　

过G6作OA垂直线交圆O于P6， 　　

则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

解法2：

在与圆O的直径AB垂直的半径OC上，作出OC的中点D，

在OB上作一点E，使OE等于半径的1/8；

以E为圆心，ED长为半径作弧，与OA、OB分别交于F、G；

以F为圆心，FD长为半径作弧，交OA延长线于H，

以G为圆心，GD长为半径作弧，交OA于I；

作OB中点J，以线段IJ为直径作圆，交OC于 K；

过K作AB的平行线，与以线段OH为直径的圆交于远端L，

过L作OC的平行线，与圆O交于M。

弧AM就是圆O的1/17。

依次连结各点就行了