求函数f(x)=5根号3cos^2x 根号3sin^2x-4sinxcosx(兀⼀4<x<=7兀⼀24)的最值，并求取得最值时x的值。急在线...

解：(sqrt是开方)
f(x) = 5sqrt(3) [cos(2x)]^2 + sqrt(3) [sin(2x)]^2 - 4sin(x)cos(x)，
由于 [cos(2x)]^2 + [sin(2x)]^2 = 1，且 2sin(x)cos(x) = sin(2x)，故
= 5sqrt(3) {1-[sin(2x)]^2} + sqrt(3) [sin(2x)]^2 - 2sin(2x)
= -4sqrt(3) [sin(2x)]^2 - 2sin(2x) + 5sqrt(3)，这是一个关于 sin(2x)的二次函数。
对称轴为 sin(2x) = - 1/(4sqrt(3)), 但是考虑到角度 x 属于 (π/4, 7π/24]，也就是2x 属于(π/2, 7π/12]，
那么 sin(2x) 属于 [ sin(75度), 1)，这个区间在对称轴的右侧，于是函数是关于 sin(2x)单调递减的（注意开口向下）。又由于sin(2x)是关于x单调递减的（第二象限），所以函数 f 是关于x单调递增的。函数的最小值在左端点 x = π/4取到，此时 f(x) = sqrt(3) - 2；如果你的左端点不包括 π/4，那么函数没有最小值。
函数的最大值在右端点 x = 7π/24取到，此时 f(x) = -4sqrt(3) [sin(75度)]^2 - 2sin(75度) + 5sqrt(3)
，由于sin(75) = sin(30+45) = sqrt(2)/2 (1/2 + sqrt(3)/2)，代入即可得到函数最大值为：
3sqrt(3) - (sqrt(6) + sqrt(2))/2 - 3.