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当x趋向于0时，limf(x)⼀x=1,且f‘’(x)>0,证明：f(x)>=x

2024-12-12 12:48:40

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回答1：

当x趋向于0时，lim f(x)/x=1
由洛必达法则，对分子分母同时求导，
得到
当x趋向于0时，lim f(x)/x=1=f '(x) /1
所以f '(0)=1，

令F(x)=f(x) -x
显然F(0)=0
得到F'(x)=f '(x) -1
所以F'(0)=f '(0) -1=0，
而f ''(x)>0，即f '(x)单调递增，
又f '(0)=1，
所以x>0时，f '(x)>0，
即F'(x)=f '(x) -1>0，
所以F(x)在大于0时单调递增

x<0时，f '(x)<0，
即F'(x)=f '(x) -1<0，
所以F(x)在小于0时单调递减

即x=0时，F(x)=f(x) -x取最小值
而F(0)=0，
所以F(x)恒大于等于0，
即f(x)>=x