立体几何的定理、性质、推论

立几知识整理
一、有关平行的证明
1、
线‖线 ⑴公理4 ⑵ ⑶ ⑷
l1‖l2 l1‖α α‖β
l1‖l3 l1‖l2 l1‖l2 l1‖l2
l2‖l3 α∩β=l2
线‖线 线‖线 线‖面 线‖线 面‖面 线‖线 同垂直于一个平面 线‖线

2、
线‖面 ⑴ ⑵
α‖β
a‖α a‖β
a‖b
线‖线 线‖面 面‖面 线‖面

3、
面‖面 ⑴ ⑵

α‖β α‖β
a‖α
b‖β
线‖面 面‖面 同垂直于一直线 面‖面

二、有关垂直的证明
1、
线⊥线 ⑴ ⑵
三垂线定理 ⊥射影 ⊥斜线
平面内直线
逆定理 ⊥斜线 ⊥射影
（线⊥面 线⊥线） （线⊥线 线⊥线）

2、
线⊥面 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷

a‖b α‖β

(线⊥线 线⊥面)

3、
面⊥面

（线⊥面 面⊥面）

三、有关角的计算
1、
异面直线所成角
⑴定义：（默写）
⑵范围：（ ]
⑶求法：作平行线，将异面 相交；
⑷（C92）棱长为1的正方体，M、N分别为中点，求AM、CN成角的余弦；
⑸（C95）直三棱柱中， ,D1、F1分别为中点，BC=CA=CC1，求BD1
与AF1所成角的余弦。

⑷ ⑸

2、
线、面所成角
⑴定义（默写）
⑵范围：
⑶求法：作垂线，找射影；
⑷（C95）圆柱的轴截面为正方形，E为底面圆周上一点，AF⊥DE于F；
(Ⅰ)证AF⊥DB
(Ⅱ)如圆柱与三棱锥D—ABE体积比为 ，求直线DE与平面ABCD所成角；
⑸（C98）斜三棱柱侧面A1ACC1⊥底面ABC， ，BC=2，AC= ，
AA1⊥A1C，AA1=A1C
(Ⅰ)求AA1与底ABC所成角大小；
(Ⅱ)求侧面A1ABB1与底ABC成二面角大小。

⑷ ⑸