数学关于周期性函数题，求大神

2025-03-06 20:55:13

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回答1：

已知a为常数，f(x)不等于0，且f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)
f(X)是否为周期函数？若是，求他的一个周期
这是一道老题，也是一道运用类比思想的好题。
解析：
f(x)不等于0，且f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)，看到这个条件你会想到什么？
我想大部分同学第一次遇到这个题会感到茫然，情理之中。下面先看这样一道题，
例，已知a为常数，f(x)不等于0，且f(x+a)=(f(x)+1)/(1-f(x))是否存在周期？存在的话是多少？
我想一见到这道题，同学们都会想到tan（x+派/4）=（tanx+1）/（1-tanx）。继而发生类比，至此可知例题中的函数周期是存在的，tan（x+派/4）=（tanx+1）/（1-tanx）的周期为派，即4·派/4，这里派/4相当于题中的a，可知例题中的函数是存在的，切周期为4a。
那么若把派/4换成-派/4，则tan（x-派/4）=（tanx-1）/（tanx+1），类比原题中的函数可知，原函数的周期是存在的，周期是tan（x-派/4）的周期，即派。也就是
-4a，当然，4a也是它的周期之一。
解答完毕。
这道题还有其他方法，不过需要有很强的观察力才能想到上面方法。
至此我们知道，题来自书中，书中的概念，公式要熟记。也就是基础知识必须扎实。
函数的周期性
（一）概念
对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当< style='' > 取定义域内的每一个值时，是函数的一个周期，故是周期函数，假设，当未必是函数的一个周期，但若是函数的一个周期，而任一有理数是的周期，用数学归纳法易证的周期，换言之，一个周期函数必有其周期集合，且此集合是一个至少一方无界的无穷点集。
（5）周期函数的定义域至少是一方无界
因函数的周期集合是定义域的子集，由（4）知周期集合至少一方无界，故定义域至少一方无界。
（6）周期函数的定义域内的点不一定是连续的，可能是有间断的，如函数，假设，对任代入上式，有
∵
于是矛盾，故是以T为周期的函数，证明
（1）对任意正整数，的周期
（2）的所有周期都是T的整数倍
注：若
证：
（1）的任意一个周期，且，使（，则
也是与T的最小性矛盾，故是数集A上的周期函数，则有最小正周期T，则T也是函数周期，则任从而的周期。
（2）由（1）知T也是的最小正周期，则存在是
即的周期，且为正数，这与T是的最小正周期
3. 函数以为最小正周期
证（充分性）设<0" > 是<1" style='width:27pt; > 的最小正周期，令<2" style= > ，则<3" >
∴ <4" style='width:81.75pt; >
∴ <5" style='width:4in; >
假设T不是的周期，
则<9" style='width:317.25pt; >
即的周期与已知是是数集B上的周期函数，且，则复合函数为B上的周期函数。
证明：设T是（）的周期，则对任意
即为B上周期函数
推论：若，，（仍为周期函数
（2）若T是
如，而最小正周期，是数集B上具有最小正周期T的函数，则T也是复合函数的最小正周期。
证：由（1）T也是复合函数的周期，即对任有，即与（），则它们的和、差、积是A上以）为周期的周期函数
证：
但是，如果与分别是的最小正周期，那么与的最小公倍数不一定是与的最小正周期都是，并不是，显然的最小正周期
（5）对于定义在R上的函数），则为一个周期的周期函数，反之，若为函数，且是以，那么（数代换，令代代入，求证，求证是定义在R上的函数，且的值。
3. 已知函数的任意一个值都有是周期函数。
4. 对任意整数，，，求在R上有意义，满足（1），（2）为奇函数，试求满足，且在区间（0，10）内实根的个数为（）
A. 2 B. 3 C. 9 D. 7
7. 定义在R上的偶函数成立，且当（）
A. C. D.
8. 设是定义在实数集R上的函数，对一切实数，有，求证：，，其中，，使，且是以T为周期的函数。
10. 定义在实数集R上的函数，有
且，使，试问与是定义在实数集R上的函数，且满足条件
（1）对任何（*）
（2），使是否周期函数
12. 已知上为奇函数（偶函数）试讨论1. 解：
（1）∵
∴
∴ （或是周期函数，且2T是其一个周期；（2）若是周期函数，且2T是其一个周期
，，
的周期为8 ∴ 而
，
∴ ① 以有，故为以2T为周期的推论
注：若是周期函数，且是其一个周期
证：∵ 代得4. 解：由（如题3）
即6是
5. 解：∵ ，即 ∴
是一个周期为4的周期函数，则为R上的奇函数，则
，
因此方程7. 解：由以2为周期
当
当，当时，，则，故选C。
令∴ ∴ 以9. 分析：记使为以T为周期的函数
由
证：设，则
且
即是以T为周期的函数，令即将得证
，代换
由已知 ∴ 11. 证：在（*）中，令
由知，在此式中令
又由（*）可知
∴ 是偶函数
∴ 又
得12. 证明：因是，则必存在，若上为奇函数，
即同理可证：若为偶函数，则补充中心对称
证：设（）
，又由
，故，故在上，反之同理可证。
以上有点高深建议只看思想

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