解:估计楼主想求三角形PBD周长的最小值,而题目中却没有给出边长,在此就设BC=2m吧。
取点B关于AC的对称点B’,连接AB’和CB’,则⊿AB’C也是等边三角形;
连接B'D交AC于P,则此时⊿PBD的周长最小. 作B'H垂直BC的延长线于H.
∵∠BCA=∠ACB'=60°.
∴∠B'CH=60°,∠CB'H=30°,CH=B'C/2=AC/2=m,B'H²=B'C²-CH²=3m².
则:PB+PD+BD=PB'+PD+BD=B'D+BD=√(DH²+B'H²)+m=√(4m²+3m²)+m=(√7+1)m.
【若想证明此时⊿PBD的周长最小,可在AC上另取P'(异于点P),连接P'B,P'D,P'B'.
由于BD=BD,只要证明出:PB+PD
点B'与B关于AC对称,则PB=PB',P'B=P'B'.
∴PB+PD=PB'+PD=B'D;
P'B+P'D=P'B'+P'D.
根据"两点之间线段最短"可知:B'D
过点C作BCE 使得
BP/sin60=BC/sin105 BP=BCsin60/sin105
BD/sin75=PD/sin60 PD=BDsin60/sin75
BP+PD=BCsin60/sin105+BDsin60/sin75
则BD+BP+PD的最小值=BD+BDsin60/sin75+2BDsin60/sin105
你可能是忙中出错了!是求△PBD周长的最小值吧。 若是这样,则:
∴△PBD的周长的最小值是△ABC边长的[(1+√7)/2]倍。 证明如下:
∵△ABC是给定的等边三角形,∴BC是定值,而D是BC的中点,∴BD是定值。
∴要使△PBD的周长最小,只需要PB+PD最小就可以了。
过D作DE⊥AC交AC于E,延长DE至F,使DE=EF,连结BF交AC于一点,这点就是P。
∵CE⊥DF、DE=EF,∴CE是DF的垂直平分线,∴PE是DF的垂直平分线,∴PD=PF,
∴PB+PD=PB+PF=BF。
在AC上,除P外的另一点M,都能使B、M、F构成三角形。
∵AC是BF的垂直平分线,∴MD=MF。
∴由三角形两边之和大于第三边,有:MB+MD=MB+MF>BF。
∴BF与AC的交点P能使PB+PD最小,即能使△PBD的周长最小。
过F作FG⊥BC交BC的延长线于G。
∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60。
∵CD是BF的垂直平分线,∴CF=CD=BC/2、∠ACF=∠ACB=60°,∴∠FCG=60°,
∴CG=CF/2=BC/4、FG=√3CG=√3BC/4。
∴由勾股定理,有:
BF=√(BG^2+FG^2)=√[(BC+CG)^2+(√3BC/4)^2]
=√[(BC+BC/4)^2+(√3BC/4)^2]=√[(1+1/4)^2+3/16]BC=(√7/2)BC。
∴此时,△PBD的周长=BD+PB+PD=BD+BF=BC/2+(√7/2)BC=(1+√7)BC/2。
∴△PBD的周长的最小值是△ABC边长的[(1+√7)/2]倍。
三角形PBC周长的最小值是当P为AC的1/4时,
首先说,你的问题出错了,应是求PBD周长的最小值。
第一步,做D点关于AC的对称点E,连接BE与AC的交点F为所求点。
第二步说明,在AC上任取异于F的点H,连接BH、EH,由三角形两边之和大于第三边,可知,F点为所求。
鹅鹅鹅