求教线性代数高手，矩阵乘法为什么那么奇怪？以及所谓的线性映射是什么几何意义？我几何很好，不懂代数！

因为矩阵的乘法就是这么定义的呀，A与B的乘积C中的任一元素cij等于A的第i行与B的第j列的对应元素的乘积之和，这就要求A的每一行所含的元素个数与B的每一列所含的元素个数相等，即A的列数等于B的行数，否则根本没法乘。
由于在取定一组基后，n阶方阵与线性变换之间可以建立一一对应的关系，所以可以用线性变换的乘积（即复合）来理解矩阵的乘积，（我只是说大致可以这么做，矩阵乘法为什么这么定义恐怕要到历史中去找寻缘由，对于那些不是方阵的矩阵之间的乘法，我也无能为力）由于线性变换的乘积不能随便交换次序，所以矩阵的也不行。
由于线性变换有逆，所以矩阵也有逆。（就姑且这么理解吧）
线性变换就是保持向量之间线性关系的映射，式子Akα=kAα表示，kα的像就是α的像与k的乘积，这与kα就是α与k的乘积形成对应关系，而式子A(α+β)=Aα+Aβ表示，α+β的像就是α的像与β的像的和，这也说明，α+β就是α与β的和的这种线性关系得到了保持。如下所示：
η =k • ζ ψ = δ + ε
↑ A ↑A ↑A ↑A ↑A
γ =k • α λ = α + β
我还是建议你用线性变换来理解矩阵的性质。用几何来解释矩阵的性质恐怕有困难，高等数学的特征之一就是抽象性，所以为了理解那些古怪的定义和性质，你只能去学习那些更抽象的东西，然后你才能理解个中缘由，然后为了理解新的古怪定义，只能去学加倍高深的知识，所以，唉，你就会被卷入到一条学术的不归路上。人生的悲剧就这样形成了。
不过单就理解线性代数来说，我建议你看一看清华大学出版社的《线性空间引论》（陈恭亮,叶明训,郑延履著）。不同于国内的大多数线性代数教材，它是以线性空间和线性代数为主线编的，感觉看完以后对线性代数的许多困惑得到了解释，不过这本书一开始理解起来当然还是很费劲的，但是总比学完以矩阵为主线编的令人一头雾水的教材后留下的感觉好多了。

我之前也和楼主一样有很多的疑惑，最近看了相关书籍自己思考很久，很多困惑解开了，毕竟我们的教学很没劲，线性代数的很多本质都没给我们解释，大家只是学会了解题，让我很不爽。
我用比较直观形象的语言来解释一下吧，可能语言不太精确，望谅解
1.这个矩阵乘法就是这么定义的，所以左乘与右乘不一样。矩阵可以理解为线性变换的描述，如A*a=b（A为矩阵，a和b是向量），即a向量做了一个线性变换变为b，A这个矩阵就是来描述这个变换的，或者说a映射到b，那么A就是来描述这个映射的（当然不能将映射和变换等同，这里我只是大概的点到下意思）。
那么A*B=C，两个矩阵相乘什么意思？你可以把B看出列向量组，那么就相当于对这个列向量组里的每一个列向量做了同样的线性变换（用矩阵A来描述），最后得到的新的矩阵C由新的列向量组成，每个列向量都是经由相同的线性变换得来的。当然还可以理解为两次线性变换的叠加效果，比如说A*B*b=c，就是说b向量先做A这种线性变换再做B这种线性变换最后变为c向量，那么如果用结合律，（A*B）*b=c，即C*b=c，也就是说做两次线性变换的效果等同于做一次C这种线性变换。所以说矩阵是一个用来描述线性变换的向量组（语言肯定不如数学语言描述的精确，但是大概就是这意思了，相信这样讲楼主也更能明白些）
2.可逆是什么玩意？
前面说了矩阵就是一种线性变换的描述，那么你把一个向量线性变换成另外一个向量，然后你要再把它变回来，肯定要另外一种线性变换吧，对于那个将向量变回来的线性变换的描述就是矩阵A的逆喽。那么A矩阵可逆就是说A所对应的线性变换很好，可以找到一种线性变换将被改变的向量变回来了，不可逆就是找不到变回来的途径喽！
这么解释楼主应该明白了吧。至于矩阵是几何体？这种说法至少在这里没有体现，也不存在几何体可逆的说法。当然不同的时候矩阵有不同含义，既然矩阵是一个向量组，那么这些向量展开当然可以构成几何体（不对。。展开成的是空间。。扯远了）其实这丫就是一个数表嘛。
希望以上的回答对楼主有帮助，我也在学习线代中，望共同进步！