求不定积分∫[(x^2-9)^(1⼀2)]dx⼀x

还有你不知道的，就是函数y = arcsecx的图像，在(-∞，+∞)上不连续，所以要分区间讨论。令x=3sect需要分为x3时的情况。

求不定积分∫{[√(x²-9)]/x}dx
解：令x=3sect，则dx=3secttantdt，代入原式得：
∫{[√(x²-9)]/x}dx=3∫tan²tdt=3∫(sec²t-1)dt=3[∫dt/cos²t-∫dt]=3(tant-t)+C=3[(1/3)√(x²-9)-arcsec(x/3)]+C
=√(x²-9)-3arcsec(x/3)+C
∵x=3sect，∴sect=x/3，tant=(1/3)√(x²-9)，t=arcsec(x/3).

x=3sect，dx=3secttantdt,
(set)^2=x^2/9,(tant)^2=(x^2-9)/9,
tant=√(x^2-9)/3，
原式=3∫[(tant)^2]sectdt
=3∫（[(sect)^2-1]sectdt
=3∫(sect)^3dt-3∫sectdt
∫(sect)^3dt=∫(sect)dtant
=secttant-∫tantdsect
=secttant-∫sect(tant)^2ft
=secttant-∫[(sect)^3-sect]st
=secttant-∫(sect)^3dt+∫sectdt,
2∫(sect)^3dt=secttant+∫sectdt,
∫(sect)^3dt=(secttant+∫sectdt)/2,
原式=3(secttant+∫sectdt)/2-3∫sectdt
=3secttant/2-(3/2)∫sectdt
=3secttant/2-(3/2)ln|sect+tant|+C1
=3x*√(x^2-9)/3/2-(3/2)ln|x/3+√(x^2-9)/3|+C1
=x√(x^2-9)/2-（3/2）)ln|x+√(x^2-9)|+C。
不知分母是否有x？

3∫[(tant)^2dt=3∫[(sect)^2-1]dt=3∫[(sect)^2 dt-3∫dt=3tant+3t+c
代入即可