230问答网 > 已知a,b,c为正数,求证a^3+b^3+c^3≥1⼀3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)

已知a,b,c为正数,求证a^3+b^3+c^3≥1⼀3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)

要多种方法来解答

2024-12-22 00:49:24

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回答1：

用X代替左边，Y代替右边，则此题为证明X≥Y。
先计算3X-3Y。
3X-3Y=3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)
=2(a^3+b^3+c^3)-(a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b)
将右边含有a^2，b^2，c^2的项提取出来，整理得
3X-3Y=(a-b)a^2+(a-c)a^2+(b-a)b^2+(b-c)b^2+(c-a)c^2+(c-b)c^2
=(a-b)(a^2-b^2)+(a-c)(a^2-b^2)+(b-c)(b^2-c^2)
=(a-b)(a-b)(a+b)+(a-c)(a-c)(a+c)+(b-c)(b-c)(b+c)
=(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2
因为a, b, c为正数，所以(a+b), (b+c), (a+c)也为正数
3X-3Y≥0，当且仅当a=b=c时，等号成立
所以X≥Y，也就是a^3+b^3+c^3≥1/3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)