你这个地方不能用积分中值定理，原因是这个积分用到中值定理后会化为x*f(ξ),其中，ξ介于0和x之间，引入了一个新的变量，而且这个ξ的变化是跟x有关的，也就是说，ξ是x的函数，两者之间的无穷小变化关系你是不确定的，用了积分中值定理以后化简到这里，分子分母的x虽然可以约掉，但是新出来的ξ处理不了，所以不能用积分中值定理。
说实话，考研数学呢还是比较难的，嗯，一般想要考过的几率真的很低。但是这个题目的话，积分中值定理的话不适合这道题目。所以你的结果跟正确结果有出入。
题目条件f(0)=0，不能用，分母为0无意义；
当f（0）不等于0时，可以用你那种方法
正确结果应该是1/4吧，这题f0和f'0都已给出，考虑在x=0对fx泰勒展开到它的二阶导数，就可以求出极限。
但情况下考研数学的话，我建议你的话就是去一般去作业帮什么的，然后这里的话其实很难解答。
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