用数学归纳法证明1^2+2^2+3^2+n^2=n(n+1)(2n+1)⼀6

问题都错了，那不成
立。应该是用
数学归纳法证明1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

首先证明：1^2=1(1+1)(2+1)/6成立

假设：1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立

（再证明n=k+1使等式成立）

1^2+2^2+3^2+……+k^2+（k+1）^2=k(k+1)(2k+1)/6+（k+1）^2（同分，提出k+1并把余下的式子合并）=(k+1)(2k^2+6k+6)/6(最后分解因式)=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

所以等式在n等于任意值时都成立

n=1时：左边=右边，不等式成立
设n=k时不等式成立：左边
=(1+2+...+k)(1+1/2+...+1/k)
=
[k(k+1)/2](1+1/2+...+1/k)
>=k^2+k-1
n=k+1时：
左边
=[(k+1)(k+2)/2][1+1/2+...+1/k
+1/(k+1)]
=[(k+2)/k][k(k+1)/2](1+1/2+...+1/k)
+
(k+2)/2
>=
[(k+2)/k](k^2+k-1)
+
(k+2)/2
=
[(k+1)^2+(k+1)-1]
+(k^2+2k-4)/2k
>=
(k+1)^2+(k+1)-1
=右边,
不等式成立
因此，对任意n，不等式成立