有关确界的问题：

1.假设supX＞supY，则存在x0∈X，使得x0＞supY。从而对任意y∈Y，都有x0＞y，与已知矛盾，故supX≤supY
2.由已知，Y中任意一个数y都是X的上界，X中任意一个数都是Y的下界，故由确界原理，X有上确界，Y有下确界。对任意y∈Y，y是X的一个上界，由上确界定义，可知supX≤y。该式又表明supX是Y的一个下界，故由下确界定义得supX≤infY.
3.对任意x∈X，有x≤supX，所以ax≤asupX，故asupX是aX的一个上界。任给正数ε，存在x0∈X，使得x0＞supX-ε/a，所以ax0＞asupX-ε，故asupX是aX的上确界。类似的可证ainfX是aX的下确界。
4.因为A是B的子集，所以对任意x∈A，都有x∈B，故supA≤supB，类似的可证infA≥infB
5.对任意x∈X，都有x≤supX；同样对任意y∈Y，都有y≤supY，所以x+y≤supX+supY，即supX+supY是Z的一个上界。任给正数ε，存在x0∈X，使得x0＞supX-ε/2；同理存在y0∈Y，使得y0＞supY-ε/2，从而x0+y0＞supX+supY-ε。故supX+supY是Z的上确界。类似的可证明infX+infY是Z的下确界。
6.对任意x∈X，都有x≤supX；同样对任意y∈Y，都有y≤supY，所以xy≤supXsupY，即supXsupY是Z的一个上界；任给正数ε，存在x0∈X，使得x0＞supX-ε；同理存在y0∈Y，使得y0＞supY-ε。
所以x0y0＞（supX-ε）（supY-ε），故upXsupY是Z的上确界。类似的可证infXinfY是Z的下确界。

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