如果A是实对称矩阵，(λ,x)是A的特征对，即Ax=λx，那么x^H*Ax=λx^H*x，这里x^H表示x转置共轭。注意x^H*x是正实数，x^H*Ax是实数（对它取转置共轭来验证），所以λ是实数。
谱分解也很容易证明，由于λ是实数，x可以取成实向量且模长为1，将x张成正交阵Q，即取一个以x为第一列的正交阵Q，那么Q^T*A*Q是分块对角阵diag{λ,B}，B仍然是实对称阵，归纳即可。
至于复数有什么用，这个不是一两句能讲清楚的，你记住复数很有用就行了，如果要具体一点就记住复数有良好的代数和拓扑性质，这个要等你学得深入了才能理解。
证明: 设λ是实对称矩阵A的特征值, α是A的属于特征值λ的特征向量
即有 A'=A, A共扼=A, Aα=λα, α≠0.
考虑 (α共扼)'Aα = (α共扼)'A'α = (Aα共扼)'α = ((Aα)共扼)'α
所以 λ(α共扼)'α = (λ共扼)(α共扼)'α
因为 α≠0, 所以 (α共扼)'α≠0.
所以 λ = λ共扼
即λ是实数.
亲我爱莫能助...
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