如何通过洛伦兹变换得到m=m0⼀sqr(1-v^2⼀c^2)

现在根据这两个事实，推导坐标的变换式 　　
设想有两个惯性坐标系分别叫S系、S'系，S'系的原点O‘相对S系的原点O以速率v沿x轴正方向运动。任意一事件在S系、S'系中的时空坐标分别为（x，y，z，t）、（x'，y'，z'，t'）。两惯性系重合时，分别开始计时 　　
若x=0，则x'+vt'=0。这是变换须满足的一个必要条件，故猜测任意一事件的坐标从S'系到S系的变换为 　
　x=γ(x'+vt') (1) 　　
式中引入了常数γ，命名为洛伦兹因子 （由于这个变换是猜测的，显然需要对其推导出的结论进行实验以验证其正确性） 　
　在此猜测上，引入相对性原理，即不同惯性系的物理方程的形式应相同。故上述事件坐标从S系到S'系的变换为 　　
x'=γ(x-vt) (2) 　　
y与y'、z与z'的变换可以直接得出，即 　　y'=y (3) 　　z'=z (4) 　　
把（2）代入（1），解t'得 　　
t'=γt+(1-γ^2)x/γv (5) 　　
在上面推导的基础上，引入光速不变原理，以寻求γ的取值 　
　设想由重合的原点O（O'）发出一束沿x轴正方向的光，设该光束的波前坐标为（X，Y，Z，T)、(X'，Y'，Z'，T')。根据光速不变，有 　　
X=cT (6) 　　X’=cT' (7) 　　
（1）（2）相乘得 　　xx'=γ^2( xx'-x'vt+xvt'-v^2*tt') (8) 　　
以波前这一事件作为对象，则（8）写成 　　
XX'=γ^2(XX'-X'VT+XVT'-V^2*TT') (9) 　　
（6）（7）代入（9），化简得洛伦兹因子 　
　γ=[1-(v/c) ^2]^(-1/2) (10) 　　
（10）代入（5），化简得 　
　t'=γ(t-vx/c^2) (11) 　　
把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起，即S系到S'系的洛伦兹变换 　
　x'=γ(x-vt)， 　　y'=y， 　　z'=z， 　　t'=γ(t-vx/c^2) (12) 　
　根据相对性原理，由（12）得S'系到S系的洛伦兹变换 　
　x=γ(x'+vt')， 　　y=y'， 　　z=z'， 　　t=γ(t'+vx'/c^2) (13) 　
　下面求洛伦兹变换下的速度变换关系 　　
考虑分别从S系和S'系观测一质点P的运动速度。设在S系和S'系中分别测得的速度为u(j，n，m)和u'(j'，n'，m') 　
　由（12）对t'求导即得 S系到S'系的洛伦兹速度变换 　
　j'=(j-v)/(1-vj/c^2)， 　
　n'=n/[γ(1-vj/c^2)^-1]， 　
　m'=m/[γ(1-vj/c^2)^-1] (14) 　　
根据相对性原理，由（14）得S'系到S系的洛伦兹速度变换 　
　j=(j'+v)/(1+vj'/c^2)， 　
　n=n'/[γ(1+vj'/c^2)^-1]， 　
　m=m'/[γ(1+vj'/c^2)^-1] (15)