高数的微分方程

介绍编辑
含有未知函数的导数，如

、

的方程都是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。[1]
2定义式编辑
f(x,y',y'',…``…y(n))=0
3概述编辑
大致与微积分同时产生。事实上，求y′=f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪

微分方程
就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。
但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。
物质

微分方程
运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

微分方程
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
4来源编辑
微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。I.牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。
20世纪以来，随着大量的边

微分方程
缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。从“求通解”到“求解定解问题” 　数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”。但是以下三种原因使得这种“求通解”的努力，逐渐被放弃。第一，能求得通解的方程显然是很少的。在常微分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，为数是很小的。如果把求通解看作求微商及消去法的某一类逆运算，那么，也和熟知的逆运算一样，它是带试探性而没有一定的规则的，甚至有时是不可能的（J.刘维尔首先证明黎卡提方程不可能求出通解），何况这种通解也是随着其自由度的增多而增加其求解的难度的。第二，当人们要明确通解的意义的时候（在19世纪初叶分析奠基时期显然会考虑到此问题）就会碰到严重的含糊不清之处，达布在他的教学中经常提醒大家注意这些困难。这主要发生在偏微分方程的研究中。
第三，微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题。
早期由于外弹道学的需要，以及40年代由于高速气动力学研究激波的需要，拟线性一阶双曲组的间断解的研究更得到了重大发展，苏联和美国学者作出了贡献。泛函分析和偏微分方程间的相互联系，相互促进发展，首先应归功于法、波、苏等国学者的努力。
中华人民共和国建立后，微分方程得到了重视和发展。培养了许多优秀的微分方程的工作者，在常微分方程稳定性、极限环、结构稳定性等方面做出了很多有水平的结果；在偏微分方程混合型刻画渗流问题的拟线性退缩抛物型、椭圆组和拟线性双曲组的间断解等方面做出了很多有水平的结果。
5应用编辑
平面二次曲线方程含有五个参数，两端对x求五次微商，连同原方程共得六个方程，消去参数就得到微分方程

1
。　 　(1)
又如曲面变形论提出了微分方程组

2
(2)
几何学提出的微分方程很多。（J.-）G.达布的《曲面一般理论教程》一直是这方面值得参考的书。
变分学中令积分取极值的必要条件欧拉方程一般是非线性微分方程（或组）。
从理论上讲，若已知方程的通解，则只需选择其中的任意元素使之满足定解条件即可得出定解问题的解。而实际上这种选择往往是非常难的，更不用说求得通解的困难了。相反地，如果把出现在定解条件中的数据或多或少地变动一下都能求得方程的一个解，那么把这些数据作尽可能地变动时就可能求得方程所有的解即通解。就是采取了这种观点，柯西和K.（T.W.）外尔斯特拉斯几乎同时证明了常微分方程通解的存在性，而偏微分方程也从此得到了迅速的发展。
定解问题的定义和要求
方程（或称泛定方程

微分方程
） 是加在含m个自变量x1，x2，…，xm的未知函数u及其各阶偏微商上的一个关系，即若把u和由它而得的它的各阶偏微商（至少是方程中出现的）都代入F中，则所得结果对于Rm中的某区域Ωm的所有内点x1，x2，…，xm来说，都要求恒等于零；但对于Ωm的边界点来说，并不作这样的要求。至于定解条件当xm=0时则是在Rm中(m-1)维流形xm=0上被满足的。这时，xm=0就称为支柱。xm=0有时是Ωm中的一个(m-1)维流形，有时就是Ωm的边界дΩm或дΩm的一部分。所谓当xm=0时有，就是在Ωm 内当xm=0附近任一点沿任一曲线趋近于xm=0上任一点(x嬼，x嬽，…，x圛)时，u趋近于u0(x嬼，x嬽，…，x圛)。在这种理解下，P.班勒卫指出了这时u0(x1,x2,…，xm-1)应是连续的。定解条件

微分方程
当

时， ，
当然也应是在Rm中一(m－1)维流形xm=0上被满足的。这时，

仍被称为支柱，但对微商取值的理解有两种：一是把它看作当

趋近于0时

微分方程
的极限。二是把它看作当xm趋近于0时的极限。显然，若第二种理解成立则第一种理解必然成立。反之则不尽然。
应该指出，也可以用或 ，或更一般地用Rm中任何一个(m-1)维流形来代替xm=0，它们这时也都被称为支柱。对函数取值和微商取值若要作上述理解，还需对支柱作必要的正规要求，例如支柱至少是一个若尔当流形等等。
由于一阶常微分方程的一般形式是F(x,y,y┡)=0，要应用柯西定理，就必需应用隐函数理论解出y┡。在不满足隐函数定理的条件的情况，常常就是产生奇解的情况。克莱罗方程就是一个最简单的例子。定解问题研究的开展，大大帮助了对奇解的了解。
柯西提出定解问题的时代也是复变函数论开始蓬勃发展的时代，“两个实域真理间的最短途径时常是通过一个复真理的”影响，这是当时特别流行的说法，复域里常微分方程理论（即复解析理论）得到了发展。从推广柯西定理的布里奥-布凯定理，从（J.-）H.庞加莱的工作到班勒卫、J.马尔姆奎斯特等人的工作，最引人注目的是在线性方程方面，从I.L.富克斯的结果开始一直到庞加莱的自守函数理论已很完整。但是在非线性方面显然没有取得如此令人满意的成果，其原因可能是多复变函数的奇点理论和解析开拓尚有待发展。
柯西问题

二阶常微分方程的柯西问题
不是泛定方程（E2）唯一可以提出的定解问题。人们还可以提出如下的边值问题（相当于二阶偏微分方程的狄利克雷问题）：
(D1)：

1
这两个问题均可归结为线性积分方程。前者可归结为第二种沃尔泰拉积分方程，后者则是第二种弗雷德霍姆积分方程。沃尔泰拉方程可以看作弗雷德霍姆方程的特例，但不同的是后者有本征值、本征函数问题，而前者没有。边值问题和由它而引起的本征值、本征函数问题，不仅有理论上的价值，为人们提供很多特殊函数,而且有实用价值（特征值问题在大型建筑中必需考虑到）。在椭圆型偏微分方程的边值问题中同样也引起本征值和本征函数问题。
在柯西的倡导下，人们从“求通解”的时代进入了“求解定解问题”的时代，随着庞加莱的定性理论,常微分方程又从“求解定解问题”的时代进入“求所有解”的时代。
稍后，D.伯克霍夫在动力系统方面开辟了一个新领域。进入21世纪以来，由于拓扑方法的渗入，更加得到发展。苏联Α.М.李亚普诺夫在运动稳定性方面的工作，对天文学、物理学以及工程技术有广泛应用，极受重视。
此外，在考虑时滞问题时，人们还创立了差分微分方程。进入21世纪以来，泛函微分方程有很大发展。泛函微分方程是差分微分方程的推广。
柯西曾把他有关常微分方程方面的结果推广到一阶偏微分方程组的柯西问题，但他在偏微分方程中所考虑的方程并没有象在常微分方程中所考虑的方程那样有代表性。因此，后来又引进了模组的概念，柯西和稍后的С.Β.柯瓦列夫斯卡娅都用长函数法证明了模组柯西问题的解析解是唯一存在的。模的概念显然依赖于支柱。从而引入了特征的概念。应特别注意，有些组的特征表达式A能恒等于零，其中有些方程组是比较重要的，例如方程(2)就是这样的，广义相对论的基本方程组也是这样的。
20世纪初才由E.霍姆格伦在方程是非重特征的、系数是解析的、支柱是解析的而非特征的条件下，证明了解的唯一性。阿达马指出，只要能在方程是非重特征的、系数是非解析的、支柱是非特征的条件下证明霍姆格伦定理，则该定理在方程是非重特征的、非线性的、非解析的、支柱是非特征的条件下仍是正确的。至于连续依赖性则并不成立，阿达马的著名例子

阿达马的著名例子
就说明这个问题。
阿达马分析了他以前和当时的有关线性二阶偏微分方程的工作，紧紧抓住“形式相似的方程却有迥然不同的适定问题”这个矛盾，反复论证，终于发现了长期未被注意的事实，即柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理在方程、支柱和数据有一非解析时是不真的。例如Δu=0在支柱z=0的柯西问题在数据不都是解析时未必是有解的。诚然，双侧的解（即z≤0和z≥0时都存在的解）不存在，因为根据杜恩定理，若存在，则两个数据必然都是解析的。单侧的解也不存在，因为否则用照相法(实际上是一种解析开拓)，则双侧解也将存在，但解析方

解析方程
程，解析支柱t=0、非解析数据的柯西问题却是实际中提出的，理论证明是适定的。
阿达马提出了基本解。这不仅是他对前人工作的总结，而且从他本人以前的成就也必然得到这个重要概念。有了基本解，模双曲型方程的柯西问题的解，只要支柱是空向的，已给数据适当正规，就可以用一个发散积分的有限部分来表示；椭圆型方程就可以形成势代表解，并通过这个势满足的弗雷德霍尔姆型积分方程求得狄里克雷问题的解。间接地求抛物型方程的基本解的步骤也是阿达马提出来的。他有一句名言：“所有线性偏微分方程问题应该并且可以用基本解来解决。”
在V.沃尔泰拉暗示下，G.F.特里科米进行了混合型方程的所谓特里科米问题的研究。所谓混合型方程，是指在蜕型线L一侧是椭圆型，在另一侧是双曲型的方程；1927年特里科米证明了解的存在性。虽然苏联学者C.A.洽普雷金在V.沃尔泰拉之前已在射流理论中提出更一般的混合型方程即洽普雷金方程，但只有在40年代由于超音速飞机的制造，在跨音速气动力学中这类方程才大受重视。M.H.普罗特尔证明了洽普雷金方程特里科米问题的解的唯一性，苏联学者A.B.比察泽也在这方面做了大量有意义的工作。由于渗流的研究，促进了拟线性退缩抛物型方程的研究发展，苏联学者为此作出了贡献。
一个方程或方程组的定解问题一旦提出，就产生下列三个问题。
①存在性问题，即这个定解问题是否有解。
②唯一性问题，即其解是否唯一。
③连续依赖性问题，即解是否连续依赖于数据，亦即是否是数据的某阶连续泛函。
若定解问题的解是存在的、唯一的、连续依赖于数据的，则这个定解问题称为适定的。对它就可以进行计算。一般而言，只有适定问题计算才有意义。这样，微分方程的研究成果才能为实际所应用。
如果对上述三个问题的回答有一个是否定的，这个定解问题就称为不适定的。一般，不适定问题是原来用来刻画实际规律的数学模型不恰当，必须另建合适的数学模型。不适定问题也是需要研究的，这种研究有时会导致理论上的新发展。
定解问题研究的发展
对常微分方程最早提出的定解问题是柯西问题(C)：

微分方程
柯西问题(C)是适定的，其根据是柯西定理：若?(x,y)在

，

上连续，并满足李普希茨条件，则柯西问题(C)在满足条件下，存在唯一的连续依赖于y0的连续解。由于泛定方程的任一解当

时总要取一个值

,因此就可以提出柯西问题(C)。由于唯一性，这个柯西问题的解一定就是所考虑的解，所以柯西问题(C)的解就是泛定方程的“通解”。
柯西利用L.欧拉早就提出的近似解法（所谓欧拉折线法）证明了当折线边数无限增加、边长无限缩小时，这些折线有一极限即(C)的唯一连续依赖于

的解。这个方法称为柯西-李普希茨方法。若取消李普希茨条件，则用阿尔泽拉定理仍能证明解的存在性，但不能证明唯一性和连续依赖性。可见李普希茨条件的作用只在于保证解的唯一性。逐次逼近法导源于代数方程近似解法，刘维尔首先把它用于解沃尔泰拉积分方程，(C.-)É.皮卡才把它广泛应用于解常微分方程柯西问题(C)上，首先把柯西问题变为非线性沃尔泰拉积分方程，然后用逐次逼近法求解，结果完全和欧拉折线法的一样。
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程，也可以简单地叫做微分方程。
一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。
如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。
6特点编辑
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。
一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。
大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。
通常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
7解法编辑
见大学课本《微积分》。
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。
设特征方程

两根为

，

。
1．若实根

不等于

2．若实根

=

3．若有一对共轭复根