求函数f（x）=2x+1⼀x+1在区间【1，4】上的最大值，最小值

方法一：
f(x)=2x+1/x+1=(2(x+1)-1)/(x+1)=2-1/(x+1)
1<=x<=4
2<=x+1)<=5
所以,1/5<=1/(x+1)<=1/2
-1/2<=-1/(x+1)<=-1/5
3/2<=2-1/(x+1)<=9/5
即最大值是9/5,最小值是3/2

方法二：
f(x)=2x+1/x+1
=[2（x+1）-1]/x+1
=2-[1/(x+1)]
因为函数y=1/x在区间[1，4]上为减函数，
所以y=-1/(x+1)在区间[1，4]上为增函数，
则f(x)在区间[1，4]上也为增函数（这是复合函数单调性判断的“增增减减”性质）。
所以，f(x)=2x+1/x+1在区间[1，4]上的最大值=f(1)=3/2
f(x)=2x+1/x+1在区间[1，4]上的最小值=f(4)=9/5

这个函数在[1,4]上是增函数， 最大值是f（4）

最小值是f（1）

f(x)=(2x+2-1)/(x+1)
=(2x+2)/(x+1)-1/(x+1)
=2-1/(x+1)

1<=x<=4
1<=x+1<=5
1/5<=1/(x+1)<=1
-1<=-1/(x+1)<=-1/5
1<=2-1/(x+1)<=9/5
所以最大值是9/5，最小值是1

回答者： xiaohao824 | 十级 | 2011-10-4 13:51

方法一：
f(x)=2x+1/x+1=(2(x+1)-1)/(x+1)=2-1/(x+1)
1<=x<=4
2<=x+1)<=5
所以,1/5<=1/(x+1)<=1/2
-1/2<=-1/(x+1)<=-1/5
3/2<=2-1/(x+1)<=9/5
即最大值是9/5,最小值是3/2

方法二：
f(x)=2x+1/x+1
=[2（x+1）-1]/x+1
=2-[1/(x+1)]
因为函数y=1/x在区间[1，4]上为减函数，
所以y=-1/(x+1)在区间[1，4]上为增函数，
则f(x)在区间[1，4]上也为增函数（这是复合函数单调性判断的“增增减减”性质）。
所以，f(x)=2x+1/x+1在区间[1，4]上的最大值=f(1)=3/2
f(x)=2x+1/x+1在区间[1，4]上的最小值=f(4)=9/5

这函数在我们这里叫对勾函数，最小值f(1)=4,最大值f(4)=9.25，求导用单调性或用均值不等式