量子力学的若干问题，求点拨~

1，首先，L的却对应两个量子数lm，但是张量不是提取机，不是说给你那个想要的量子数就当分量，就算有这么个常数张量也不是你给的矩阵元，再说用L也得不到l量子数，那是L^2,如果把不同算符本征矢相乘当并矢，形式上作为希尔伯特空间的张量还算可以。
2，先把s1s2耦合，在和s3耦合，s1s2耦合可以得到各种量子数，再利用同种方法得到三重耦合的量子数，CG系数亦然，比如说|（j1j2)j12j3jm>=|j1m1>|j2m2>|j3m3>
对m1m2m3m12求和。
或者说j23和j1，这两种都是幺正变换，变换系数叫做Racah系数，Racah系数W（j1j2jj3:j12j23)=
<(j1j2)j12j3j|j1(j2j3)j23j>/sprt{(2j12+1)(j23+1)}
也就是乘了个系数，把m去掉了，因为和m无关。
再利用二重耦合的cg系数可求得此系数，
结果为W(abcd:ef）=（-1）^a+b+c+d delta(abe)delta(acf)delta(bdf)delta(cde)*[1/(a+b+c+d-z)!(a+d+e+f-z)!(b+c+e+f-z)!*(-1)^z (z+1)!/(z-a-b-c)!(z-c-d-e)!(z-a-c-f)!(z-b-d-f)!]
其中delta(abc)=sprt[(a+b-c)!(a-b+c)!(b+c-a)!/(a+b+c+1)!],把abcef换成J1J2JJ3J12J23即可。
详见喀兴林《高等量子力学》23章。
3，对于多电子的问题，比如说氦原子，电子间的势能很大微扰论的结果大约相差5.3%这已经很大了，但是实际上微扰论在这种问题上并不常见，极其好的方法就是变分（摄动）法，无论是多少电子，经典来说都是绕着核运动的，类似于对核子产生了屏蔽作用，于是适当的选取变分函数是很有用的，一个发展便是著名的哈特利——福克方法（平均场论——SCF），把电子当做电子云看待时对空间对称性的影响并不大，这种方法给定了很好的坐变分函数的形式，具体可见量子化学教材，对电子气的哈特利-福克方法可见凝聚态教材。反称化的SCF叫做SCF计算，这种方法的计算可达99%，当然对化学家这还是不够准确，还有其他方法。量子力学在原则上是可以计算任何化学问题的，但仅仅是在原则上的，所以目前还是在探索。第二个问题完全是量子化学上的，l的确定来自于泡利原理，举个例子。两个等价的p的情况有以下几种，其中m1代表1的z轨道角动量量子数，ms1代表自旋z，m2代表2的z轨道，ms2代表自选，ML和MS代表总。
m1 ms1 m2 ms2 ML MS
1 1/2 1 -1/2 2 0
1 1/2 0 1/2 1 1
1 1/2 0 -1/2 1 0
1 -1/2 0 1/2 1 0
1 -1/2 0 -1/2 1 -1
1 1/2 -1 1/2 0 1
1 1/2 -1 -1/2 0 0
1 -1/2 -1 1/2 0 0
1 -1/2 -1 -1/2 0 -1
0 1/2 0 -1/2 0 0
0 1/2 -1 1/2 -1 1
0 1/2 -1 -1/2 -1 0
0 -1/2 -1 1/2 -1 0
0 -1/2 -1 -1/2 -1 -1
-1 1/2 -1 -1/2 -2 0
因为泡利原理而出去了m和ms都相同的项，Ml最高值是2,对应L=2的D项，ML=2的项Ms=0,所以MS=0的Ml=2Ms=0ML=1MS＝0ML=0Ms=0ML=-1Ms=0ML=-2MS=0的五个都是同一谱系L＝2的D，同理MS最高值为1，这几个MS为1的也是同一谱系，Ml最高为1,所以为P，3p有9个状态。剩下一个MLMS都为0，而且只有一个，所以为1S，总共三个：1S,3P,1D,
而非等价的为6个，N原子为1s^2 2s^2 2p^3，2p3就按这个算，稍复杂。只有三个谱：2P 2D 4S，当然选4s，j自然也出来了。总之可以看量子化学教材。
这种情况分3种，1闭壳，必然自旋相反，2不等价的电子，因为n不同，所以不受泡利原理影响，直接用l1l2算L，s1s2算S有很多种，3是不满的等价电子最麻烦，就是上边说的，在不等价点子上减了很多，一般都要列表，但是f态可能要3000都列，可以用群论。

第一个问题，这三个量子数并不都是L的本征值。L只对应l量子数和m。

1.有一句名言不是量子力学是生活在希尔伯特空间的，即波函数的完备集通常是无限维的。对于角子来说，在波动力学解法下，它是球谐函数，本证值和本证矢都是无限多的；代数解法中力学量的维数也是无限维的。量子数的个数与物理量的维数相等，而力学量的维数不那么根本，只是解法的体现。当然自旋很特殊，是相对论量子力学中的概念在经典的唯象。