230问答网 > 求函数f(x,y)=x^2+12xy+2y^2在闭区域4x^2+y^≤25上的最大值与最小值。

求函数f(x,y)=x^2+12xy+2y^2在闭区域4x^2+y^≤25上的最大值与最小值。

2025-01-04 01:07:15

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回答1：

依4x²+y²≤25，可设
x=5/2cosθ，y=5sinθ.
代入待求式，整理得
f(x,y)=225/8+75sin2θ-175/8cos2θ
=225/8+75√65/8sin(2θ-φ)
(其中tanφ=(175/8)/75=7/24)
∴sin(2θ-φ)=1时，
所求最大值为:(225+75√65)/8;
sin(2θ-φ)=-1时，
所求最小值为:(225-75√65)/8。