根据你所描述的情况，不算多么复杂的事故，事实比较清楚，一般情况下机动车负主要或全部责任。
你的车辆有全险，不用担心。因此到医院所交的费用你要保存好交款收据，将来好有依据，即使你不到交医院交款，对方交款，处理时也需要提供证据的。
至于提车，对方住院期间应该需要医院出据“伤情诊断证明”才可以提车，理由是怕你把车提走不承担责任，对方会问责。你和对方家属到交警部门一起处理，应该会给你事故处理的。若因未出院不予处理，你可以先交足押金，并且对方同意后可以提车的。
希望我的回答能解决您的问题。
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