√(2+(√2+(√2+...)))的极限存在

极限存在，极限为：2

解题过程如下：

∵ a1=√2<√(2+√2)=a2即a1假设当n<=k时有a(k-1)

则当n=k+1时，ak=√(2+a(k-1))<√(2+ak)

∴数列an递增

∵ a1=√2<2

设当n=k时ak<2，则当n=k+1时，a(k+1)=√(2+ak)<√(2+2)=2

∴an<2

∵ an是单调有界数列,所以极限存在

设极限为A

∴A=√(2+A)

∴A=2

扩展资料

求数列极限的方法：

设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

1、函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

2、函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

3、函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

√(2+(√2+(√2+...)))的极限存在，极限值是2.
解题思路：
x1=√2,
x2=√(2+√2),
......
x(n+1)=√(2+xn)
显然{xn}单调上升
另外{xn}上有界，都小于数√2+1，可以通过数学归纳法证明之
根据单调有界数列必有极限，知道{xn}极限存在，设为A
在x(n+1)=√(2+xn)中令n趋于无穷就得到，就得到关于极限值A的一个方程，解出（有意义的）结果就是 A=2