晕，同学，你完全混淆了无穷级数和无穷数列。
无穷级数是用求和的形式无限逼近函数的一种数值研究方法，其研究的特性是求和是否收敛，无穷数列单项是否存在收敛和其前n项和是否收敛没有什么必然关系！比如振荡数列：
无穷级数发散与收敛在于Σ1/n是否有极限，而不是1/n是否有极限
你的问题在于，单独一项lim(n→∞）1/n=0
为什么lim(n→∞）Σ1/n发散，这是因为函数的极限不具有可加性。
可以举很多例子，比如lim(n→∞）（1+n)^(1/n)=e
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