230问答网 > 求数列1，（1+2）分之1，（1+2+3）分之1，…，（1+2+3+…+n）分之1，…的前n次项和

求数列1，（1+2）分之1，（1+2+3）分之1，…，（1+2+3+…+n）分之1，…的前n次项和

2025-01-02 16:08:56

推荐回答（3个）

回答1：

直接化简最后一项，1+2+。。。+n=n(n+1)/2，所以（1+2+3+...+n）分之1=n(n+1)分之2
每一项都这样化简之后，提取公共的2，用裂项相加法最后的式子是：
2（1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+...+1/n-1/n+1)=2(1/2-1/n+1)=n-1/n+1

回答2：

1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+1/(1+2+3+4+5)+...+1/(1+2+3+4+...+n)
=1+2*（1/2-1/3）+2*（1/3-1/4）+2*（1/4-1/5）+……+2*[1/(n-1)-1/n]
=1+2*（1/2-1/n）
=2-2/n

回答3：

该数列的通项an=（1+2+3+…+n）分之1
=1/(1+2+3+…+n)=2/[n(n+1)=2[1/n-1/(n+1)].

数列的前n次项和Sn=a1+a2+a3+……+an
=2[(1-1/2)+(1/2-1/3)+ ……+(1/n-1/(n+1))]
=2[1-1/(n+1)]= 2n/(n+1).