计算：1的平方⼀（1*3）+2 的平方⼀（3*5）+3的平方⼀（5*7）+...+1000的平方⼀（1999

在这里写实在麻烦，我写在图片上了，但是貌似会看不出来。主要是按照1/n(n+2)=(1/n-1/n+2)/2来做，你展开来试试看，虽然消不掉，但是相加都为1

an=n^2/(2n-1)(2n+1)=n^2/(4n^2-1)=1/4[1+1/(4n^2-1)]=1/4+1/8[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
Sn=1/4+1/8(1-1/3)+1/4+1/8[1/3-1/5]+1/4+1/8[1/5-1/7]+......+1/4+1/8[1/(2n-1)-1/(2n+1)]=1/4n+1/8[1-1/(2n+1)]
=1/4n+1/8-1/[8(2n+1)]
S1000=1的平方/（1*3）+2 的平方/（3*5）+3的平方/（5*7）+...+1000的平方/（1999*2001）
=1/4*1000+1/8-1/(8*2001)
=250+2000/(8*2001)
=250又250/2001

由题间可知，该式的第n项an=n^2/(2n-1)(2n+1)，可化为：an=1/4×[n/(2n-1)+n/(2n+1)]

所以，原式可化为：
1/4×[1+1/3+2/3+2/5+3/5+3/7+4/7+......+999/(2×999+1)+1000/(2×1000-1)+1000/(2×1000+1)]
=1/4×[1×1000+1000/(2×1000+1)]
= 500500/2001

an=n^2/[(2n-1)(2n+1)]
=n^2/(4n^2-1)
=(4n^2-1+1)/[4(4n^2-1)]
=1/4+1/[4(2n-1)(2n+1)]
=1/4+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/8

所以Sn=1/4+(1/1-1/3)/8+1/4+(1/3-1/5)/8+...+1/4+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/8
=n/4+[1-1/(2n+1)]/8
=n/4+n/[4(2n+1)]

把n=1000代入得S1000=1000/4+1000/[4(2*1000+1)]=250+250/2001

如果不懂，请Hi我，祝学习愉快！

解：
令式子中第n项为an
an=n²/[(2n+1)(2n-1)]=n²/(4n²-1)
=(1/4)[1+1/(4n²-1)]
=(1/4)+(1/4)[1/(2n+1)(2n-1)]
=(1/4)+(1/8)[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

1²/(1×3)+2²/(3×5)+3²/(5×7)+...+1000²/(1999×2001)
=1000/4+(1/8)(1-1/3+1/3-1/5+...+1/1999-1/2001)
=250+(1/8)(1-1/2001)
=250+250/2001
=500500/2001