证明:若向量组α1,α2,...,αn线性无关，而β1=α1+αn,β2=α1+α2,β3=α2+α3,...βn=αn-1+αn,

设 k1β1+k2β2+……+knβn＝0
则向量组β1,β2,...,βn线性无关的充要条件是 k1,k2,……,kn只能全为0。
k1β1+k2β2+……+knβn＝﹙k1+k2﹚α1+﹙k2+k3﹚α2+……+﹙k1+kn﹚αn＝0
∵向量组α1,α2,...,αn线性无关
∴ k1,k2,……,kn满足齐次线性方程组
k1+k2＝0，k2+k3＝0.......kn+k1＝0
它的系数行列式D﹙按第一列展开﹚＝1+﹙-1﹚^﹙n+1﹚
n是偶数时。D＝0.齐次线性方程组有非零解。
n是奇数时。D＝2≠0.齐次线性方程组只有零解。
∴向量组β1,β2,...,βn线性无关的充要条件是n为奇数。

设矩阵A＝(α1,α2,...,αn)，B＝(β1,β2,...,βn)，则B＝AC，其中矩阵C＝
110...00
011...00
............
000...11
100...01
计算C的行列式|C|＝1＋(-1)^(n+1)
若n为奇数，则C可逆，所以r(B)＝R(A)＝n，向量组β1,β2,...,βn线性无关。
若n为偶数，则R(B)≤R(C)＜n，向量组β1,β2,...,βn线性相关。
所以，向量组β1,β2,...,βn线性无关的充要条件是n为奇数