230问答网 > 已知a，b均为有理数，根号a，根号b均为无理数。求证：根号a+根号b 也是无理数。

已知a，b均为有理数，根号a，根号b均为无理数。求证：根号a+根号b 也是无理数。

2024-12-28 05:56:45

推荐回答（3个）

回答1：

这个题目用反证法比较好。
假设√a+√b为有理数，
由于(√a+√b)(√a-√b)=a-b ，a、b为有理数推出a-b为有理数，而且√a+√b都是有理数，所以√a-√b也为有理数。
然后，√a+√b、√a-√b都是有理数，所以他们的和2√a、差2√b也应该为有理数。这已经和题目给出的条件相矛盾了，所以假设不成立。
所以√a+√b为无理数。

回答2：

设√a+√b=t，显然t≠0，（反证法）假设t为有理数
于是√a=t-√b，两边平方得a=(t-√b)²=t²-2t√b+b，即(a-b-t²)/(-2t)=√b
上式左边为有理数（有理数间的加、减、乘、除仍为有理数，这可以当公理使用），而右边为无理数，矛盾！
因此t为无理数

回答3：

证：无理数加无理数也为无理数....

已知a，b均为有理数，根号a，根号b均为无理数。 求证：根号a+根号b 也是无理数。

已知a，b均为有理数，根号a，根号b均为无理数。求证：根号a+根号b 也是无理数。