高等数学，证明数列收敛

2025-01-02 15:03:26

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回答1：

xn+2=1/(1+xn+1)
=1/[1+1/(1+xn)]
=(1+xn)/(1+xn+1)
=(1+xn)/(2+xn)
=1-1/(2+xn)
若令f(x)=1-1/(2+x)，易证f(x)单增。
于是x3=f(x1)=2/3x5=f(x3)以此类推，当n为奇数时，有xn+2而x2=1/2，x4=f(x2)=3/5>x2
x6=f(x4)>f(x2)=x4
以此类推，当n为偶数时，有xn+2>xn。
因此，取{xn}的奇数项所构成的子列，它是单调递减的，而取偶数项所构成的子列，它是单调递增的。
并且显然数列有下界0和上界1，于是{x2n-1}和{x2n}都收敛。
解方程x=1-1/(2+x)得x=(-1±√5)/2
由保号性可知，奇数项子列和偶数项子列均收敛于(√5-1)/2，因此原数列收敛，且极限为(√5-1)/2

回答2：

😁

回答3：

单减，且大于0