凸轮轮廓及其综合
1. 凸轮机构从动件的位移
凸轮是把一种运动转化为另一种运动的装置。凸轮的廓线和从动件一起实现运动形式的转换。凸轮通常是为定轴转动，凸轮旋转运动可被转化成摆动、直线运动或是两者的结合。凸轮机构设计的内容之一是凸轮廓线的设计。
定义一个凸轮基圆rb作为最小的圆周半径。从动件的运动方程如下：
L( )=rb+s( )
设凸轮的推程运动角和回程运动角均为β，从动件的运动规律均为正弦加速度运动规律，则有：
s( )＝h( - sin(2π /β)) 0≤ ≤β
s( )＝h－h( - sin(2π( -β/β)) β≤ ≤2β
s( )＝0 2β≤ ≤2π
上式是从动件的位移，h是从动件的最大位移，并且0≤β≤π。
如果假设凸轮的旋转速度ω＝d ／dt是个常量，则速度υ、加速度a和瞬时加速度j（加速度对时间求异）分别如下：
速度：
υ( )＝ （1-cos(2π /β)） 0≤ ≤β
υ( )＝－ （1-cos(2π( -β)/β) β≤ ≤2β
υ( )＝0 2β≤ ≤2π
加速度：
a( )＝ sin(2π /β)） 0≤ ≤β
a( )＝- sin(2π( -β)/β) β≤ ≤2β
a( )＝0 2β≤ ≤2π
瞬时加速度：
j( )＝ cos(2π /β)） 0≤ ≤β
j( )＝- cos(2π( -β)/β) β≤ ≤2β
j( )＝0 2β≤ ≤2π
定义无量纲位移S=s/h、无量纲速度V=υ/ωh、无量纲加速度A=a/hω3和无量纲瞬时加速度J=j/hω3。若β＝60°，则如下程序可以对以上各个量进行计算。
beta=60*pi/180;
phi=linspace(0,beta,40);
phi2=[beta+phi];
ph=[phi phi2]*180/pi;
arg=2*pi*phi/beta;
arg2=2*pi*(phi2-beta)/beta;
s=[phi/beta-sin(arg)/2/pi 1-(arg2-sin(arg2))/2/pi];
v=[(1-cos(arg))/beta-(1-cos(arg2))/beta];
a=[2*pi/beta^2*sin(arg)2*pi/beta^2*sin(arg2)];
j=[4*pi^2/beta^3*cos(arg)4*pi^2/beta^3*cos(arg2)]:subplot(2,2,1)
plot(ph,s,ˊKˊ)
xlabel(ˊCam angle(degrees)ˊ)
ylabel(ˊDisplacement(S)ˊ)
g=axis; g(2)=120; axis(g)
subplot(2,2,2)
plot(ph,v,ˊkˊ,[0 120],[0 0],ˊk--ˊ)
xlabel(ˊCam angle(degrees)ˊ)
ylabel(ˊVelocity(V)ˊ)
g=axis; g(2)=120; axis(g)
subplot(2,2,3)
plot(ph,a,ˊkˊ,[0 120],[0 0],ˊk--ˊ)
xlabel(ˊCam angle(degrees)ˊ)
ylabel(ˊAcceleration(A)ˊ)
g=axis;
g(2)=120;
axis(g)
subplot(2,2,4)
plot(ph,j,ˊkˊ,[0 120],[0 0],ˊk--ˊ)
xlabel(ˊCam angle(degrees)ˊ)
ylabel(ˊJerk(J)ˊ)
g=axis;
g(2)=120;
axis(g)
2 平底盘形从动作
参考下图得到如下关系：在（x,y）坐标系中，凸轮轮廓的坐标为Rx和Ry,刀具的坐标为Cx和Cy：
Rx＝Rcos( θ+ ) Ry＝Rsin( θ+ )
Cx＝Ccos( γ+ ) Cy＝Ccos( γ+ )
其中，
R= θ=arctan
c= =arctan
rc是刀具的半径，且dL/d ＝V（ ）/ω。
为了画出凸轮的轮廓曲线，创建函数CarmProfile，用来计算L（ ）和dL/d ，创建函数ContourFlat,用来计算Rx,Ry,Cx,Cy。
function[L,dLdphi]= CarmProfile(phi,rb,h,beta)
arg=2*pi*phi/beta；
L=rb+h*(phi/beta-sin(arg)/2/pi)；
dLdphi=(h/beta)*(1-cos(arg))；
L=[L fliplr(L)]；
dLdphi= [dLdphi- dLdphi]；
函数ContourFlat是
function[Rx,Ry,Cx,Cy]=ContourFlat(phi,rb,h,beta,rc)
[L,dLdphi]=Camprofile(phi,rb,h,beta)；
theta=atan2(dLdphi,L)；
R=L./cos(theta)；
ph=[phi beta+phi]；
Ry=R.*sin(theta+ph)；
Rx=R.*cos(theta+ph)；
gama=atan(dLdphi./(L+rc))；
C=(L+rc)/cos(gama)；
Cy=C.*sin(gama+ph)；
Cx=C.*cos(gama+ph)；
若令β＝60°，rb=3.0和h=0.5，则程序清单是：
beta=60*pi/180；rb=3；h=0.5；rc=0.5；n=23；
phi=linspace(0,beta,n)；
ph=[phi beta+phi]；
[Rx,Ry,Cx,Cy]=ContourFlat(phi,rb,h,beta,rc)；
ang=linspace(2*beta,2*pi,40)；
plot(Rx,Ry,ˊkˊ,rb*cos(ang),rb*sin(ang),ˊkˊ,0,0,
ˊk+ˊ,Cx(1:5:2*n),Cy(1:5:2*n),ˊk+ˊ)
axis equal
phd=linspace(0,2*pi,50)；
[x,phx]=meshgrid(Cx(1:5:2*n),phd)；
y=meshgrid(Cy(1:5:2*n),phd)；
hold on
plot(x+rc.*cos(phx),y+rc.*sin(phx),ˊk--ˊ)
title(ˊCam contour for cycloidal motion of flat-face followerˊ)
3.偏置滚子从动件
由图可得到如下关系。凸轮轮廓在（x,y）的坐标是Rx和Ry，刀具的坐标是Cx和Cy；
Rx=Rcos( ψ+ +γ) Ry=Rcos( ψ+ +γ)
Cx=Ccos( ψ+ +δ) Cy=Ccos( ψ+ +δ )
其中，
R2=(F-rfcosα)2+rf2cos2α ψ=arctan(m/L)
C2=cx2+cy2 α=arctan
cx=F+(rc-rf)cosα γ= arctan
cy=(rc-rf)sinα δ=arctan(cy/cx)
F2=m2+L2
凸轮的基圆半径是：
L(0)=rb=
从 =2β+Δ开始，其中，
Δ=arctan
为了显示这些结果，首先创建函数ContourRoller来计算Rx,Ry,Cx,Cy：
function[Rx,Ry,Cx,Cy]=ContourRoller(phi,rb,h,beta,rc,m,rf)
[L,dLdphi]=CamProfile(phi,rb,h,beta)；
F2=m^2+L.^2；
F=sqrt(f2)；
psi=atan2(m,L)；
alpha=atan2(L.*dLdphi,F2-m*dLdphi)；
gamma=atan2(rf*sin(alpha),F-rf*cos(alpha))；
ph=[phi beta+phi]；
R=sqrt((F-rf*cos(alpha)).^2+(rf*sin(alpha)).^2)；
Ry=R.*sin(psi+gamma+ph)；
Rx=R.*cos(psi+gamma+ph)；
cx=F+(rc-rf)*cos(alpha)；
cy=(rc-rf)*sin(alpha)；
delta=atan2(cy,cx)；
c=sqrt(cx.^2+cy.^2)；
Cy=C.*sin(psi+delta+ph)；
Cx=C.*cos(psi+delta+ph)；
若令β=60°，rb=3.0,h=0.5,rc=0.5,rf=0.375,m=0.375,则程序清单是：
beta=60*pi/180；rb=3；h=0.5；rc=0.5；rf=0.375；m=.375；n=23；
phi=linspace(0,beta,n)；
ph=[phi beta+phi]；
[Rx,Ry,Rx,Ry]=ContourRoller(o,rb,h,beta,rc,m,rf)；
rb=sqrt(Rx(1)^2+Ry(1)^2)；
delta=atan2(Ry(1),Rx(1))；
[Rx,Ry,Cx,Cy]=ContourRoller(phi,rb,h,beta,rc,m,rf)；
ang=linspace(2*beta+delta,2*pi+delta,40)；
plot(Rx,Ry,ˊkˊ,Rx(1)*cos(ang)),Rx(1)*sin(ang),ˊkˊ,0,0,ˊ
k+,Cx(1:5:2*n), …Cy(1:5:2*n),ˊk+ˊ)
axis equal
phd=linspace(0,2*pi,50)；
[x,phx]=meshgrid(Cx(1:5:2*n),phd)；
y=meshgrid(Cy(1:5:2*n),phd)；
hold on
plot(x+rc.*cos(phx),y+rc.*sin(phx),ˊk--ˊ)
title(ˊCam contour for cycloidal motion of an offset roller followerˊ)
4.凸轮的曲率半径
凸轮轮廓的曲率半径如下给出：
ρ=
凸轮轮廓应该是这样的：从动件的曲率半径总是大于凸轮轮廓的最小曲率半径，有意义的是最小曲率半径。使用第1节中对无量纲位移、速度、加速度和瞬时加速度的定义，曲率半径可表示如下：
ρ/h=
为了确定最小的曲率半径（无量纲的），利用曲率半径与β的对称关系创建函数CamCurvature。在0≤ ≤β区间是有效的。
function RadiusCurve=CamCurvature(phi,beta,rbh)
arg=2*pi*phi/beta；
S=phi/beta-sin(arg)/2/pi；
V=(1-cos(arg)) /beta；
A=2*pi/beta^2*sin(arg)；
RadiusCurve=((rbh+S)^2+V^2)^1.5/((rbh+S)^2+2*V^2-(rbh+S)*A)；
那么对于rb/h和β的任意值，程序清单是：
rbh=input(ˊEnter ratio rb/h:ˊ)；
beta=input(ˊEnter angle beta(degrees):ˊ)*pi/180)；
options=optimset(ˊdisplayˊ,ˊoffˊ)；
phimin=fminbnd(ˊCamCurvatureˊ,0,beta,options,beta,rbh)；
rmin=CamCurvature(phimin,beta,rbh)；
disp([ˊWhen beta=ˊnum2str(beta*180/pi)ˊdegrees and rb/h=ˊ…
num2str(rbh)ˊthe mininmun radius of curvature for aˊ])
disp([ˊcycloidal cam profile is=ˊnum2str(rmin)ˊh,which occurs atˊ…
num2str(phimin*180/pi)ˊdegrees.ˊ])
程序执行后，在MATLAB命令窗口中显示如下信息：
Enter ratio rb/h:4
Enter angle beta(degrees):80
When beta=80 degrees and rb/h=4 the minimum radius of curvature for a
cycloidal cam profile is=2.9777h,which occurs at 58.8421degrees.
参考文献：
[美]Edward B. Magrab 等著，高会生，李新叶，胡智奇 等译. MATLAB原理与工程应用. 北京：电子工业出版社，2002年
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