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已知f（x）的定义域为R，且f（x+1）和f（x-1）都是奇函数，求证f（x+3）也是奇函数

2025-02-05 19:52:05

推荐回答（2个）

回答1：

令 g(x)=f(x+1)，h(x)=f(x-1)，则因为 g，h 都是奇函数，有 g(-x) = - g(x) ，h(-x) = - h(x)。
考虑函数 m(x) = f(x+3) = f((x+2)+1) = g(x+2) = - g(-x-2) = - f((-x-2) +1) = -f(-x-1)
而 m(-x) = f(-x+3) = f((-x+2)+1) = g(-x+2) = - g(x-2) = - f((x-2) +1) = - f(x-1) = - h(x) = h(-x)
= f(-x -1)
所以 m(-x) = - m(-x) = f(-x -1)。
即 m(x) = f(x+3) 也是奇函数。

回答2：

f(x+3)=f(x+2+1)=-f(-x-2+1)=-f(-x-1)=f(x-1)
所以，同f(x-1)一样，f(x+3)也是奇函数